[Limites] Prove a partir da definição de limite

por **Ruan Petterson** » Qui Nov 28, 2013 23:13

Olá a todos!

É o seguinte, sei que $\lim_{x\to a}f(x)=L$ ou $f(x)\to L$ quando $x\to a$ é verdade quando $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0; |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$

Mas não consigo entender. Por exemplo:

Dada a função f(x)=x+6

, prove pela definição formal que $\lim_{x\to3}f(x)=9$ .

$|f(x)-L|<\varepsilon \Rightarrow |(x+6)-9|<\varepsilon \Rightarrow |x-3|<\varepsilon$
$0<|x-3|<\delta$
$\boxed{0<|x-3|<\delta\Rightarrow|x-3|<\varepsilon}$

Ok, descobri isso. E agora? Que relação eu faço para provar que o limite existe por definição?

Por exemplo, neste mesmo caso, como eu posso provar, por definição, que:

$x\nrightarrow4$ quando $f(x)\to9$ ?
Sei que mudaria para:
$0<|x-4|<\delta\Rightarrow|x-3|<\varepsilon$

E $f(x)\nrightarrow10$ quando $x\to3$ ?
Sei que mudaria para:
$0<|x-3|<\delta\Rightarrow|x-4|<\varepsilon$

E se eu não tiver um

? Como fica?
Por exemplo: Prove que a função $f(x)=\frac{|x|}{x}$ não possui limite quando $x\to0$ .

$|f(x)-L|<\varepsilon \Rightarrow \left|\frac{|x|}{x}-L\right|<\varepsilon$
$0<|x|<\delta \Rightarrow \left|\frac{|x|}{x}-L\right|<\varepsilon$

O que isso significa?

Desculpe pelo número de perguntas, porém a questão aqui é a explicação da relação entre $\varepsilon,\ \delta$ , que até agora eu não entendi. As funções supracitadas são apenas exemplos para referenciar minhas dúvidas.

Obrigado pela paciência rs!

por **e8group** » Sex Nov 29, 2013 00:32

Como tenho pouco tempo ,vou tentar ajudar a provar pela definição que o limite de $f(x) = ax+b,a \neq 0$ quando

tende a

é o número real ac+b

.Tente adaptar a f(x) = x + 4

e as demais questões em que

é polinômio de grau 1 .

Queremos mostrar que para cada $\epsilon > 0$ dado obteremos um $\delta > 0$ (dependendo da escolha de $\epsilon$ ) tal que para todo $x \in \mathbb{R}$ , se $0<|x-c|<\delta$ então $|f(x) - (ac+b)| < \epsilon$ .

Segue-se que

$|f(x) - (ac+b)| = |ax+b -ac - b| = |ax-ac| = |a||a-c| < |a|\delta$ . Desta forma ,tomando-se $0 < \delta \leq \epsilon/|a|$ ,obtemos $\delta$ , tal que se

$0 <| x- c|< \delta$ então $|f(x) - (ac+b)| = |a||a-c| < |a|\delta \leq |a| \epsilon/|a| = \epsilon$ .

Obs1.:
Encontrei um material bom aqui vale apena conferir .

Obs2.: Uma solução para sua última dúvida encontra-se aqui (vide página 102 -ex.: 7.1)

Espero que ajude .

por **Ruan Petterson** » Sex Nov 29, 2013 07:56

Bem, ainda não consegui entender. Vamos lá:

Entendi normalmente o que foi feito aqui: $|f(x) - (ac+b)| = |ax+b -ac - b| = |ax-ac| = |a||a-c| < |a|\delta$

Exceto pela parte $|ax-ac| = |a||a-c| < |a|\delta$ . Uma operação desta não seria $|ab-ac|=d\Rightarrow |a||b-c|=d$ ? Então por que $\delta=|a|\delta$ ?

Seria $|f(x) - (ac+b)| = |ax+b -ac - b| = |ax-ac| = |a||x-c| \Rightarrow |x-c| < \frac{\delta}{|a|}$ ?

Contudo, vamos assumir que seja $|a|\delta$ (mesmo ainda sem saber o porquê).

Entendo perfeitamente $0 < |x-c| < \delta$ então $|f(x) - (ac+b)| = |ax+b -ac - b| = |ax-ac| \Rightarrow |a||a-c| < |a|\delta$

Mas por que assumimos $0<\delta\leq\varepsilon/|a|$ , em seguida? O

tem o papel de $\neg$ ou de divisão?

Eu não consegui entender a relação de $\varepsilon , \delta$ . Quando fazemos todas as operações, não chegamos no resultado que $0 < |x-c |< \frac{\delta}{|a|} \lesseqqgtr \varepsilon$ ? (agora tô usando minha hipótese apontada logo acima)

Desculpe-me, é que realmente não tô conseguindo ver uma lógica real nas operações e, provavelmente, o problema esteja comigo =(

Abraços e obrigado pela atenção rs!

Edit: Esse Curso de Análise Real do Cassio Neri e Marco Cabral é um ótimo livro. Já utilizava o Curso de Cálculo de Uma Variável do próprio Cabral. Muito obrigado pela recomendação!

por **e8group** » Sex Nov 29, 2013 08:17

Desculpa ,digitei erroneamente . O correto seria

|f(x) - (ac+b) | = ... = |ax -ac| = |a(x-c)| = |a||x-c|

. Além disso o simbolo

designa a divisão entre dois números .

Primeiramente tome $\delta = \epsilon/|a| = \frac{\epsilon}{|a|}$ para algum $\epsilon > 0$ fixado .

Agora suponhamos que se $0 <|x-c| < \delta$ ,sendo esta relação verdadeira então necessariamente ,

$|a||x-c| < |a| \delta$ . Mas $\delta :=\frac{\epsilon}{|a|}$ ,então

$|a||x-c| < |a| \frac{\epsilon}{|a|} = \epsilon$ . Ora , a expressão

é exatamente |f(x) -(ac+b)|

,desta forma $0< |x-c|< \delta \implies |f(x) -(ac+b)| < \epsilon$ .

E para $0 < \delta < \frac{\epsilon}{|a|}$ ,qual a sua opinião ?

por **Ruan Petterson** » Sex Nov 29, 2013 09:18

Vamos lá, acho que me confundi em muita coisa. Vou tentar recomeçar, talvez fique mais fácil pra mim rs.

Dada a função f(x)=ax+b

, vamos provar que $\lim_{x\to c}f(x)=L$ .

Sabendo a definição, seguimos que:
$|f(x)-L|<\epsilon \Rightarrow |ax+b-ac-b|<\epsilon \Rightarrow |ax-ac|<\epsilon \Rightarrow|a||x-c|<\epsilon$

Então podemos dizer que temos:
$0 < |a||x-c| < \epsilon \Leftrightarrow 0 < |x-c|<\frac{\epsilon}{|a|}$
$0 < |x-c| < \delta$

Desta forma ficou claro para igualdade, para as desigualdades (na verdade no último $\delta > \frac{\epsilon}{|a|}$ ) acho que está meio errado rs. É isto mesmo?

Determinando $\delta < \frac{\epsilon}{|a|}$
$0 < |x-c| < \delta$ é igual $0 < |a||x-c| < |a|\delta$
$0 < |a||x-c| < |a|\frac{\epsilon}{|a|} \Rightarrow \boxed{0 < |a||x-c| < \epsilon}$

Determinando $\delta = \frac{\epsilon}{|a|}$
$0 < |x-c| < \delta$ é igual $0 < |a||x-c| < |a|\delta$
$0 < |a||x-c| < |a|\frac{\epsilon}{|a|} \Rightarrow \boxed{0 < |a||x-c| < \epsilon}$

Determinando $\delta > \frac{\epsilon}{|a|}$
$0 < |x-c| < \delta$ é igual $0 < |a||x-c| < |a|\delta$
$0 < |a||x-c| < |a|\frac{\epsilon}{|a|} \Rightarrow \boxed{0 < |a||x-c| < \epsilon}$

por **e8group** » Sex Nov 29, 2013 09:43

Vou tentar utilizar outro argumento,desta vez informal .Espero que ajude .

Considere $f : A \subset \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ .Suponhamos

não está definida em

mas ela está definida na vizinhança de

,isto é , para algum r > 0

o quanto pequeno queremos ,

estará definida para todo

em $(a-r,a+r) \setminus\{a\} = I$ .Prosseguindo ...

suponha-se que ao tomarmos uma sequência a_1, a_2, ...

de números reais em

convergente para

(se é assim que podemos dizer ) verificamos que a imagem destes pontos por

se aproxima cada vez mais do número real

à medida a distância de a_i

ao número

é cada vez menor .Podemos então dizer (suponha também q > 0

o quanto pequeno se queira ) que q + L > f(x) > L-q

desde que $x\neq a , a+r > x > a - r$ ou de forma equivalente |f(x) -L | < q

desde que

.

Que tal trocar

por $\epsilon$ e

por $\delta$ e estabelecer uma relação entre eles ?

Bom não sei se estar correto tudo isto acima .

por **e8group** » Sex Nov 29, 2013 10:05

Talvez estou mais te confundindo que ajudando . Veja a propriedade :

(Transitiva) Se $a \leq b$ e $b \leq c$ então $a \leq c$ . Adaptando-se :

Se $|a|x-c| < \epsilon$ e $\epsilon < |a| \delta$ então $a|x-c| < |a| \delta$ e isto por sua vez implica $|x-c| < \delta$ .

Conclusão : Também podemos tomar $\delta > \epsilon/|a|$ .

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