[Desafio] Cálculo

por **Pessoa Estranha** » Dom Nov 17, 2013 21:59

Mostre que:

$\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt[]{{x}^{2}+{a}^{2}}} = ln(x + \sqrt[]{{x}^{2} + {a}^{2}}) + C$

por **e8group** » Dom Nov 17, 2013 23:06

Dica :

Observando identidade $sec^2 \theta = tan^2\theta + 1$ vemos que é possível realizar uma substituição trigonométrica $x = |a| tan \theta (*)$ (desde que $a \neq 0$ ) de modo obtermos outra integral mais simples . Se considerarmos $x\geq 0$ , podemos sempre escrever

sob a forma (*)

para algum $\theta$ em $[0,\pi/2)$ . Segue-se que

$\sqrt{x^2 + a^2} = \sqrt{(|a|tan\theta )^2 + a^2} = \sqrt{a^2(tan^2\theta + 1) } = |a| \sqrt{sec^2\theta} = |a| sec\theta$ (pois $cos(\theta) > 0$ )

e derivando-se a expressão (*)

, $|a| sec^2\theta d \theta = dx$ . Após esta substituição ,veja como a integral ficou mais simples de ser calculada :

$\int sec\theta d\theta$

Agora tente concluir .

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