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Limites e Derivadas

Limites e Derivadas

Mensagempor jeff_95 » Sáb Nov 16, 2013 19:22

Exercício do Stewart

Seja a, b, c, e d constantes tais que

\lim_{\Delta x\to0}\frac{a{x}^{2}+sen{(bx)}+sen{(cx)}+sen{(dx)}}{3{x}^{2}+5{x}^{4}+7{x}^{6}} = 8

encontre o valor da soma a+b+c+d

resposta = 24
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Re: Limites e Derivadas

Mensagempor e8group » Sáb Nov 16, 2013 21:19

Uma possível solução (não necessariamente está correta ).


Se b = c = d = 0 , o limite dado se resume a \lim_{x\to 0 }  \frac{a}{3 + 5x^2 + 7x^4} = a/3   = 8  \implies a+b+c+d = 24 . Agora suponha b, c, d \neq 0 .Neste caso ,

Podemos reescrever o limite a ser calculado sob a forma

\lim_{x\to 0 }  \left( \frac{ax+ b \dfrac{sin(bx)}{bx} + c \dfrac{sin(cx)}{cx} + d \dfrac{sin(dx)}{dx}} {3x + 5x^3 + 7x^5} \right )  (*) .

Pelo que
lim_{x\to 0 } ax+ b  \dfrac{sin(bx)}{bx} + c  \dfrac{sin(cx)}{cx} + d  \dfrac{sin(dx)}{dx} = b+c+d existe e é finito e \lim_{x\to 0 } 3x + 5x^3 + 7x^5 =  0 , concluímos que o limite (*) não é finito, contradição ! Portanto , b=c=d=0 e a+b+c+d = 24 .
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Re: Limites e Derivadas

Mensagempor jeff_95 » Dom Nov 17, 2013 00:56

Valeu cara :)
Esse stewart tem uns exercicios de foder
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Re: Limites e Derivadas

Mensagempor e8group » Dom Nov 17, 2013 12:05

De nada . Mas a resolução está incompleta, apesar do limite da expressão do numerador de (*) existir e ser finito , a saber o limite desta expressão quando x tende a zero é o número real b+c+d que pode ser nulo mesmo considerando b,c,d \neq 0 , e caso b+c+d = 0 não podemos dizer nada sobre o limite (*) tendo em conta que o mesmo apresentar forma indeterminada "0/0" , portanto devemos também supor b+c+d \neq 0 bem como b,c,d \neq 0 e chegar em absurdo ,conforme já vimos.

OBS_1 .:

Não tenho 100% certeza se podemos afirmar que \lim_{x\to a} p(x)/q(x) = \pm \infty se ocorrem as duas situações :
\lim_{x\to a } p(x) existe e é um número finito não nulo , digamos l , e \lim_{x\to a } q(x) = 0
. Vou pensar sobre isto .

OBS_2 :

O limite a ser calculado apresenta forma indeterminada "0/0" , talvez seria adequado utilizar a regra de L'hospital .
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Re: Limites e Derivadas

Mensagempor jeff_95 » Dom Nov 17, 2013 18:52

Pois é, se admitirmos que a não é nulo e aplicarmos a regra de L´Hospital 2x sobra 2a como constante no numerador e 6 no denominador, e para o limite resultar em 24, a unica hipótese que se encaixa no problema é a de que b, c e d são nulos. Se as variáveis nos senos estivessem elevadas ao quadrado, daí sim poderíamos considerar b, c e d não nulos.
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Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


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my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


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isso ai foi uma questao da FGV?

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Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: