[Cálculo] Exercício

por **Pessoa Estranha** » Sex Nov 15, 2013 10:26

Olá, gostaria de ajuda na seguinte questão:

DETERMINE UMA FUNÇÃO y = f(x)

, DEFINIDA NUM INTERVALO ABERTO

, COM $1\in I$ , tal que f(1)=1

E, PARA TODO

em

, $\frac{dy}{dx}=xy$ .

Resolvi da seguinte maneira:

Primeiro, precisamos observar que $\frac{dy}{dx}=xf(x)\rightarrow f'(x)=xf(x)$ . Por outro lado, temos que f'(1)=1f(1)=1

. Notemos que $f(x)=\frac{{e}^{{x}^{2}}}{2}$ é uma possibilidade para satisfazer a proposta, contudo não satisfaz a condição de f(1)=1

. Assim, façamos: $\frac{e}{2}+k = 1 \rightarrow k = 1- \frac{e}{2}$ . Daí, temos: $f(x) = \frac{{e}^{{x}^{2}}}{2} + 1 - \frac{e}{2}$ .

Tem algo errado? O resultado não é este. Tentei fazer algumas manipulações algébricas, para tentar obter o mesmo resultado, mas não consegui nada.
A resposta certa é: $y = \frac{1}{\sqrt[]{e}} {e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}$ .

Obrigada.

por **e8group** » Sex Nov 15, 2013 11:00

Muito bom exercício . Tenho uma ideia que talvez possa ajudar . Ora , se

é uma função que satisfaz a propriedade dada , então

$f'(x) = x \cdot f(x)$ . Assumindo $f(x) \neq 0$ para quaisquer que seja

no intervalo aberto

,teremos que

$\frac{f'(x)}{f(x)} = x$ .Agora tente integrar ambos membros com relação a variável

.

Observe que $[ln(f(x)) ]' = ln'(f(x)) \cdot f'(x) = f'(x)/f(x)$ (Regra da cadeia) , caso tenha dificuldade ver este resultado , faça uma substituição simples u = f(x)

que resolve o problema .

por **Pessoa Estranha** » Sex Nov 15, 2013 13:50

O que eu escrevi está errado ?

por **e8group** » Sex Nov 15, 2013 15:22

Pessoa Estranha escreveu:Olá, gostaria de ajuda na seguinte questão:

DETERMINE UMA FUNÇÃO , DEFINIDA NUM INTERVALO ABERTO , COM $1\in I$ , tal que E, PARA TODO em , $\frac{dy}{dx}=xy$ .

Resolvi da seguinte maneira:

Primeiro, precisamos observar que $\frac{dy}{dx}=xf(x)\rightarrow f'(x)=xf(x)$ . Por outro lado, temos que . Notemos que $f(x)=\frac{{e}^{{x}^{2}}}{2}$ é uma possibilidade para satisfazer a proposta, contudo não satisfaz a condição de . Assim, façamos: $\frac{e}{2}+k = 1 \rightarrow k = 1- \frac{e}{2}$ . Daí, temos: $f(x) = \frac{{e}^{{x}^{2}}}{2} + 1 - \frac{e}{2}$ .

Tem algo errado? O resultado não é este. Tentei fazer algumas manipulações algébricas, para tentar obter o mesmo resultado, mas não consegui nada.
A resposta certa é: $y = \frac{1}{\sqrt[]{e}} {e}^{\frac{{x}^{2}}{2}}$ .

Obrigada.

Pessoa Estranha escreveu:O que eu escrevi está errado ?

Apesar da igualdade $f'(x) = x \cdot f(x)$ ser verdadeira quando $f(x) = e^{x^2}/2$ conforme você notou , se tomarmos $g(x) = f(x) + c = e^{x^2}/2 + c$ (p/ alguma constante c real ) . Temos que

$g'(x) = f'(x) = x \cdot e^{x^2} = x \cdot f(x)$ e

$x \cdot g(x) = x \cdot f(x) + x\cdot c$

portanto , em geral , $g'(x) \neq x \cdot g(x)$ ,a igualdade ocorre somente quando c = 0