[Geometria Analítica]Equação da Reta

por **IlgssonBraga** » Ter Nov 05, 2013 14:34

Olá pessoal, alguém pode me ajudar nesse problema ?

Obtenha as equações da reta que passa pelo ponto A=(1,0,1) e intercepta a reta t : x=y=z+1 formando um ângulo de 60º.

Muito obrigado !

por **e8group** » Sex Nov 15, 2013 12:25

Pensei da seguinte forma (Não tenho certeza se está correta ) . Seja $r : X = A + \lambda \overrightarrow{AB}$ a reta a ser determinada que satisfaz as propriedades dadas no enunciado (Aqui estamos considerando B ponto de interseção entre às retas

e

[dada] ) .Vamos determinar o ponto

.Para isto , escolhemos um ponto

em

equidistante de

e

.Verifica-se sem dificuldade que o triângulo ABC

é equilátero [/tex] , disto segue

d(A,B) = d(B,C) = d(A,C)

.

Se $B,C \in t \implies \exists$ escalares a,b

(distintos) tais que B = (a,a,a-1) , C = (b,b,b-1)

.

Temos

$d(A,B) = \sqrt{||(a,a,a-1) - (1,0,1)||} = \sqrt{(a-1)^2 + a^2 + (a-2)^2} = \sqrt{3a^2 - 6a + 5}$ .

Analogamente , $d(A,C) = \sqrt{3b^2 - 6b + 5}$ e

$d(B,C) = \sqrt{||(a,a,a-1) - (b,b,b-1)||} =\sqrt{(a-b)^2 +(a-b)^2 +(a-b)^2 } = \sqrt{3} |a-b|$ .

Assim ,

$d(B,C) = d(A,C) \iff \sqrt{3a^2 - 6a + 5} = \sqrt{3b^2 - 6b + 5} \iff 3a^2 -6a = 3b^2 -6b \iff 3(a^2-b^2) - 6(a-b) = 0 \iff 3 (a-b)(a+b) - 6(a-b) = 0 \iff 3(a+b) - 6 = 0 \iff a+b = 2$ .

Logo , $d(B,C) = \sqrt{3} |a-b| = \sqrt{3}|2a - 2 |= 2\sqrt{3} |a-1| = d(A,B) = \sqrt{3a^2 - 6a + 5} \iff$

12(a-1)^2 = 3a^2 - 6a + 5