[Aritmética] Números Complexos

por **Pessoa Estranha** » Dom Out 06, 2013 14:25

Determine os complexos z tais que:

${z}^{3}=$ conjugado de

.

por **Taka** » Dom Nov 03, 2013 09:23

Sendo z = a+bi, se ${z}^{3}=conj(z)$ , e conj(z)=a-bi

, então temos:

${(a+bi)}^{3}=a-bi$
${a}^{3}+3{a}^{2}bi+3a{(bi)}^{2}+{(bi)}^{3} = a-bi$
${a}^{3}+3{a}^{2}-3a{b}^{2}-bi=a-bi$
${a}^{3}+3{a}^{2}-3a{b}^{2}-a=0$
$a({a}^{2}+3a-3{b}^{2}-1)=0$

Logo, a=0

ou $b=+\sqrt[]{\frac{{a}^{2}+3a-1}{3}}$ ou $b=-\sqrt[]{\frac{{a}^{2}+3a-1}{3}}$ .

Portanto, z=bi

ou $z=a+\sqrt[]{\frac{{a}^{2}+3a-1}{3}}i$ ou $z=a-\sqrt[]{\frac{{a}^{2}+3a-1}{3}}i$

por **Pessoa Estranha** » Dom Nov 03, 2013 11:09

Valeu!

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