[Continuidade, Derivada Parcial e Função Diferenciável]

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[Continuidade, Derivada Parcial e Função Diferenciável]

Mensagempor raimundoocjr » Qui Out 24, 2013 17:28

Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy^2}{x^2+y^2} \ se \ (x, y)\neq (0, 0)& & \\ 0 \ se \ (x, y)=(0, 0) & & \end{matrix}\right.
(a) f(x, y) é contínua em (0, 0)?
\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {xy^2}{x^2+y^2}=(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x)\cdot (\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2})
\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x vai a zero.
\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2}: é limitada.
Então,
(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x)\cdot (\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2})=0=f(0, 0)
É contínua.
(b) f(x, y) tem derivadas parciais em (0, 0)?
Sim,
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0, 0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{0}{x}=0
\lim_{y\rightarrow 0} \frac{f(y, 0)-f(0, 0)}{y-0}=\lim_{y\rightarrow 0} \frac{0}{y}=0
(c) f(x, y) é diferenciável em (0, 0)?
Justifique suas respostas.

Como faço o item c?
raimundoocjr
 
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.

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