Ufop-MG - 2008 _Matrizes

por **Debylow** » Sex Out 18, 2013 20:46

Considere as matrizes:

A= $\begin{pmatrix} x & 4 \\ -3 & x+7 \end{pmatrix}$

B= $\begin{pmatrix} 4x & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

A)Para que valores reais de X tem-se det A>0 e det B>1
agradeço quem souber responder....

por **Pessoa Estranha** » Sáb Out 19, 2013 11:35

Olá....

Bom, para encontrarmos o valor do determinante de uma matriz, precisamos aplicar algumas propriedades, regras. Neste caso, temos duas matrizes quadradas, ou seja, apresentam duas linhas e duas colunas cada uma. Assim, para calcular os seus determinantes, basta aplicarmos uma regra bastante simples e ao mesmo tempo "difícil" de ser demonstrada, o que não vem ao caso. Tal regra consiste em, no caso de ser uma matriz quadrada de ORDEM 2, subtrair os resultados das multiplicações entre os números da diagonal principal e entre os da diagonal secundária. Para ficar mais claro:

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a.d - c.b$

Agora, vamos ao caso do exercício em questão.

$\begin{pmatrix} x & 4 \\ -3 & x+7 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} x & 4 \\ -3 & x+7 \end{vmatrix} = x(x+7)-[(-3).4]={x}^{2}+7x+12>0$

$\begin{pmatrix} 4x & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} 4x & -3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 12x-(-6)=12x+6>1$

Assim, para concluir, precisamos resolver as duas inequações e o valor de x será o seguinte:

1° ${x}^{2}+7x+12>0$ $\rightarrow$ Basta encontrarmos as raízes da equação ${x}^{2}+7x+12=0$ , observar o comportamento da sua curva, parábola que, neste caso, será voltada para cima, pois o coeficiente que acompanha ${x}^{2}$ é positivo. Depois, precisamos analisar qual é o intervalo tal que os valores de x possuem imagem y positiva e quando possuem imagem y negativa. Então, obteremos o intervalo que satisfaz a inequação em questão.

Resolvendo a equação, aplicando a Fórmula de Bhaskara, temos:

$\Delta=49-4(1)(12)=49-48=1$

$x1=\frac{-7+1}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

$x2=\frac{-7-1}{2}=\frac{-8}{2}=-4$

Então, as raízes da equação são -3 e -4. Contudo, seria melhor se conseguisse mostrar o comportamento da parábola através de um gráfico (tente fazer ou use GeoGebra ou qualquer outro programa que construa gráficos e ,então, ficará mais visível). Logo, o intervalo que satisfaz a inequação em questão é:

$]-\infty;-4[$ e $]-3;+\infty[$

2° 12x+6>1

Observemos que, como não é do segundo grau, torna-se mais simples de resolver, bastando apenas:

$12x+6>1 \Rightarrow 12x+5>0 \Rightarrow 12x>-5 \Rightarrow x > \frac{-5}{12}\approx -0.41$

Note que -0.41>-3>-4

.

Então, o intervalo que satisfaz a inequação em questão é:

$]-\frac{5}{12};+\infty[$

Agora que já temos os intervalos nos quais os valores de x satisfazem as inequações, então:

(Como queremos detA>0 E detB>1....)

${x\in\Re/x>\frac{-5}{12}}$ .

Este é o resultado.... Se quiser perguntar sobre alguma passagem que talvez não tenha entendido ou quiser mostrar algum erro.... Espero ter ajudado. :y:

por **Debylow** » Sáb Out 19, 2013 13:54

Mto obrigado mesmo cara, entendi tudo vlw :-D

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