[Integral] Estou com dificuldade para resolver esta integral

por **Paulo Perez** » Qui Out 03, 2013 12:22

$\int_{0}^{x}\sqrt[2]{(1 + {t}^{2})}dt$

Olá, estou com muita dificuldade para resolver esta integral, pois usando o método de substituição com u = t², dt = $\frac{du}{2t}$ e fica com duas variáveis diferentes , e usando u = $\sqrt[2]{(1 + {t}^{2})}$ , dt = $\frac{t}{\sqrt[2]{(1 + {t}^{2})}}$ fica mais complexo ainda, alguém pode me ajudar por favor.
Obrigado

por **Bravim** » Qui Out 03, 2013 16:45

Bem, esse integral é meio trabalhoso mesmo.
Como nós temos $\sqrt[]{1+t^2}$ , é melhor substituir por $\sqrt[]{1+t^2}=sec(u)$
O que vai dar:
t=tg(u)

$\int_{0}^{arctgx}sec^3(u)du$
Bem, agora é só integrar por partes.

$\int_{0}^{arctgx}sec^3(u)du = \int_{0}^{arctgx}sec(u)*sec^2(u)du$
$\int_{0}^{arctgx} sec^2(u)du=x$
$\int_{0}^{arctgx}sec^3(u)du=1/2*(x*sec(arctgx)+log\left|x+sec(arctgx) \right|)$