Relação de Equivalência

por **livia02** » Qui Ago 15, 2013 16:03

Estou com dificuldade em resolver estes dois itens da questão.

Seja R a relação: $R=[(a,b)\in Z x Z | ab>0] \cup [(0,0)]$ (obs: o x representa multiplicação, e os colchetes na verdade são chaves, mas não quis sair na formatação.)

Mostrar que R é uma rel. de equivalência em Z;
Exibir a partição de Z pela relação de equivalência R.

Valeu

por **MateusL** » Sex Ago 16, 2013 14:00

Para digitar chaves no $\LaTeX$ tens que digitar uma barra antes. Por exemplo, \{ e \}.

Acho que quisestes escrever isto:

$R=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid a\cdot b >0\}\cup\{(0,0)\}$

Tens que provar que esta relação é reflexiva, simétrica e transitiva em $\mathbb{Z}$ .

Sobre representar as partições, façamos o seguinte:
Definamos que $aRb\iff (a,b)\in R$ .
A relação

particiona $\mathbb{Z}$ em três classes de equivalência:

$[1]=\{a\in\mathbb{Z}\mid aR1\}=\mathbb{Z}^*_+=\{a\in\mathbb{Z}\mid a>0\}$
$[0]=\{a\in\mathbb{Z}\mid aR0\}=\{0\}$
$[-1]=\{a\in\mathbb{Z}\mid aR(-1)\}=\mathbb{Z}^*_-=\{a\in\mathbb{Z}\mid a<0\}$

De fato, todos os números positivos são equivalentes pela relação

, pois, para quaisquer números positivos

e

teremos $a\cdot b>0$ , ou seja, aRb

.
Do mesmo modo, todos os números negativos são equivalentes.
Além disso, um número positivo e um número negativo não podem ser equivalentes, pois, se a>0

e

, então $a\cdot b<0$ .
Por fim, o zero só é equivalente a ele mesmo. De fato, se existir algum $a\neq0$ tal que aR0

, então $a\cdot 0>0$ , absurdo. Por outro lado, como

é uma relação de equivalência (que é o que você terá que provar), pela propriedade reflexiva teremos 0R0

, o que se vê imediatamente pela definição de

, pois $(0,0)\in R$ .

Abraço!

por **livia02** » Sex Ago 23, 2013 15:03

Consegui provar a relação e entendi a sua explicação.
Após isso, tinha que dizer quantos elementos há em cada classe de equivalência.
Respondi que há 1 elemento em cada. Está certo? Pois fui de acordo com as partições?

E como posso determinar o conjunto quociente Z/R? Tenho que usar as partições?
Obrigada!