Substituição por integral

por **livia02** » Sáb Ago 17, 2013 19:29

Estava acompanhando uma explicação no livro da resolução de uma equação diferencial e não entendi um passo da resolução:

$c.v(t) + \frac{dv(t)}{dt}= f$ (lembrando que c e f são números)

1º - Fazendo $s(t) = {e}^{\int c dt} = {e}^{ct}$ e multiplicando os dois lados da equação temos:
$c{e}^{ct}.v(t)+c{e}^{ct}.\frac{dv(t)}{dt}=f{e}^{ct}$

2º - Depois ele substitui $c{e}^{ct} = \frac{d}{dt}({e}^{ct})$ .

Não entendi esses dois passos. Da onde ele tirou $s(t) = {e}^{\int c dt} = {e}^{ct}$ ? Como ele chegou a esse valor para substituir? E no segundo passos, porque ele substituiu pela derivada?

Alguém pode me explicar o porque desses passos?
Obrigada!

por **MateusL** » Sáb Ago 17, 2013 23:36

Acho que ele fez tudo isso para poder escrever o lado esquerdo da equação como a derivada de um produto de funções.
Então, ele criou uma função $s(t)=e^{\int cdt}=e^{ct}$ para que $\dfrac{d s(t)}{dt}=c\cdot s(t)$ .

Então, multiplicando os dois lados por $s(t)=e^{ct}$ :

$c\cdot v(t)+\dfrac{dv(t)}{dt}=f$
$c\cdot s(t)\cdot v(t)+s(t)\cdot \dfrac{dv(t)}{dt}=f\cdot s(t)$

Como $\dfrac{d s(t)}{dt}=c\cdot s(t)$ , podemos escrever que:

$v(t)\cdot \dfrac{ds(t)}{dt}+s(t)\cdot \dfrac{dv(t)}{dt}=f\cdot s(t)$

Pela derivada do produto, $v(t)\cdot \dfrac{ds(t)}{dt}+s(t)\cdot \dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{d(v(t)\cdot s(t))}{dt}$ , então:

$\dfrac{d(v(t)\cdot s(t))}{dt}=f\cdot s(t)$

Espero que seja isso.
Abraço!

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