Matriz de Transformação Linear e seu Determinante. Por quê?

por **marcosmuscul** » Sex Jul 26, 2013 18:04

foi-me dito que se o determinante da Matriz de Transformação Linear nxn, isto é, $Det{\left[T \right]}_{nxn}$ for igual a zero em um sistema linear homogêneo, o sistema admite não somente a solução trivial, e que se o determinante for igual a zero, o sistema só admite a solução trivial.
deixe-me ilustrar:
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Se $Det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}= 0$ então a solução do sistema é não somente a solução trivial.

Caso o determinante seja diferente de zero então cabe somente a solução trivial.

A minha dúvida é:
Que propriedade é esta? ela é consequencia de algo? Se o que eu expus for verdade, isto se aplica somente ao sistema linear homogêneo?
Agradeço pela atenção.

por **e8group** » Sáb Jul 27, 2013 14:08

Vou tentar responder de forma generalizada .

Considere a matriz $A = (a_{ij})_{n \times n}$ e $X = (x_1,\hdots , x_n )^T$ solução do sistema linear homogêneo $(*) A \cdot X =[O_{\mathbb{R} ^n} ] ^T = (0,\hdots , 0 )^T$ .Suponhamos que após aplicarmos operações elementares $e_1 , \hdots , e_k$ na matriz

obtemos a matriz identidade I_n

.Ora ,neste caso a matriz

é equivalente por linhas a matriz identidade I_n

,logo o sistema (*)

é compatível e determinado e portanto a matriz

é invertível .

Uma demonstração (não tenho certeza se está correta )

Vamos denotar $E_1 , \hdots , E_k$ as matrizes elementares obtidas respectivamente pelas operações elementares $e_1 , \hdots , e_k$ sobre a matriz identidade .

A demonstração é simples , podemos escrever A = I_n A

certo ? Aplicando a operação elementar e_1

em ambos membros , temos e_1 A = (e_1 I_n) A

[observe que tal operação pode ser por exemplo : multiplicar a primeira linha da matriz identidade por um número e somar a segunda linha] ,de forma análoga se obtêm

$(e_k \cdot e_{k-1} \cdots e_{1} ) A = (e_k I_n \cdot e_{k-1}I_n \cdots e_{1}I_n ) A = ( E_k \cdots E_1) A = I_n$

$A (e_k \cdot e_{k-1} \cdots e_{1} ) = A(e_k I_n \cdot e_{k-1}I_n \cdots e_{1}I_n ) =A ( E_k \cdots E_1) = I_n$

Portanto

é invertível e sua inversa é $E_k \cdots E_1$ a qual denotaremos por $A^{-1}$ .

Agora vejamos um método para verificar se uma determinada matriz é invertível .

Se

é invertível então $A \cdot A^{-1} = I_n$ , logo $det (A \cdot A^{-1}) = det( I_n) = det(A) det(A^{-1}) = 1 \implies det(A) \neq 0$ ,caso

não fosse invertível segue det(A) = 0

.

Conclusão : Podemos verificar se o sistema(*) possui solução além da trivial se det(A) = 0

.

Pois se $det(A) \neq 0 \implies A$ invertível e portanto multiplicando-se pela esquerda ambos membros de (*) por $A^{-1}$ , temos :

$A^{-1} (AX = A^{-1} (0,\hdots , 0 )^T = ( A^{-1} A)X = A^{-1} (0,\hdots , 0 )^T = I_n X = X= (0,\hdots , 0 )^T$

e é fácil verificar a unicidade .

Resumindo :

Um sistema linear AX = B

é compatível e determinado se $det(A)\neq 0$ caso contrário este sistema pode ser compatível e indeterminado ou incompatível (não há solução ) .

por **marcosmuscul** » Dom Jul 28, 2013 23:10

O que eu quero dizer é o seguinte:
seja a seguinte transformação linear,por exemplo:
T(x,y) = (ax + by, cx + dy), sendo a,b,c,d constantes quaisquer.

Eu quero que (ax + by, cx + dy) seja igual a (0,0) sem que x e y sejam 0.

Para isso,estava escrito no livro que o determinante da matriz transformação T precisa ser zero.
Onde $T = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Por quê?
O que ,na verdade, é um Determinante? Sei como calcular e tal... mas nunca vi uma definição clara sobre o que, de fato, é um Determinante.
Sei também que podemos transformar uma matriz qualquer em uma equivalente e tal... e as operações devidas pra calcular tanto o determinante da original como da equivalente,que ailás, precisam dar o mesmo resultado.

por **temujin** » Seg Jul 29, 2013 13:24

Não sou matemático, então não conheço nenhuma definição formal disto. Vou tentar dar uma resposta muito intuitiva...

Se existe algum $\vec{u}=(a,b)$ tal que ax+by=0, então qualquer vetor paralelo a $\vec{u}$ tb te leva a 0. Mas qualquer matriz com uma linha ou coluna paralela a outra forma um conjunto LD e, portanto, tem determinante nulo. Logo, existem infinitas soluções para o sistema. Por outro lado, se a matriz tem posto completo, então o conjunto é LI e, portanto, os vetores que a formam não serão paralelos. Então, a única solução possível é a trivial.

Não sei se é bem isto que vc estava procurando...