Proximidade de Vetores

por **Jhonata** » Dom Jul 21, 2013 12:32

Pessoal, surgiu mais uma dúvida, alguém aí pode me ajudar?

Seja S={ $(x,y,z)\in\Re^3|x-y-2z=0$ } e b=(1,1,1)

.
Determine a soma das coordenadas do vetor de S mais próximo de b.

Gabarito: $\frac{7}{3}$

Desde já, obrigado!

por **e8group** » Dom Jul 21, 2013 14:08

Boa tarde .Não verifiquei a resposta ,mas apresentarei um raciocínio para o exercício .O subconjunto

do $\mathbb{R}^3$ ,mais precisamente ,

um é subespaço do $\mathbb{R}^3$ ,seus vetores são os pontos $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ que satisfaz a propriedade do conjunto

que é

. Indo diretamente a geometria analítica ,seja $A = (a,b,c) \in S$ o ponto mais próximo de B = (1,1,1)

.Definindo $\vec{n} :=(1,-1,-2)$ vetor normal ao plano que passa pela origem de equação (*)

e escolhendo um ponto arbitrário

em

(Escolha o ponto que você quiser,fique à vontade !) .

Próxima etapa :

Antes de tudo recomendo que faça um esboço da situação . Observando o triângulo retângulo , de catetos $||\overrightarrow{AB} || ,|\overrightarrow{AC} ||$ e hipotenusa $|\overrightarrow{BC} ||$ ,fica fácil ver as seguintes relações :

(a) $\overrightarrow{AB} \parallel \vec{n} \implies \exists \beta \in \mathbb{R} : \overrightarrow{AB} = \beta \vec{n}$

(b) $\overrightarrow{AC}\perp \vec{n} \implies \overrightarrow{AC}\cdot \vec{n} = 0$

(c) $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ .

Partindo de (c) e usando (a) temos :

$(**) \overrightarrow{AC} - \beta \vec{n} = \overrightarrow{BC}$ .Multiplicando-se escalarmente (**)

por $\vec{n}$ e usando (b) , segue :

$- \beta ||\vec{n}||^2 = \overrightarrow{BC} \cdot \vec{n}$ .

Logo , $\beta = -\frac{\overrightarrow{BC} \cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2}$ .

Assim , voltando em (a) temos :

$\overrightarrow{AB} = -\frac{\overrightarrow{BC} \cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2} \vec{n}$ . Agora já conseguimos obter o ponto

,pois já temos o ponto

,o ponto

e o vetor $\vec{n}$ .Tente concluir .

por **Jhonata** » Dom Jul 21, 2013 14:16

santhiago escreveu:Boa tarde .Não verifiquei a resposta ,mas apresentarei um raciocínio para o exercício .O subconjunto do $\mathbb{R}^3$ ,mais precisamente , um é subespaço do $\mathbb{R}^3$ ,seus vetores são os pontos $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ que satisfaz a propriedade do conjunto que é . Indo diretamente a geometria analítica ,seja $A = (a,b,c) \in S$ o ponto mais próximo de .Definindo $\vec{n} :=(1,-1,-2)$ vetor normal ao plano que passa pela origem de equação e escolhendo um ponto arbitrário em (Escolha o ponto que você quiser,fique à vontade !) .

Próxima etapa :

Antes de tudo recomendo que faça um esboço da situação . Observando o triângulo retângulo , de catetos $||\overrightarrow{AB} || ,|\overrightarrow{AC} ||$ e hipotenusa $|\overrightarrow{BC} ||$ ,fica fácil ver as seguintes relações :

(a) $\overrightarrow{AB} \parallel \vec{n} \implies \exists \beta \in \mathbb{R} : \overrightarrow{AB} = \beta \vec{n}$

(b) $\overrightarrow{AC}\perp \vec{n} \implies \overrightarrow{AC}\cdot \vec{n} = 0$

(c) $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ .

Partindo de (c) e usando (a) temos :

$(**) \overrightarrow{AC} - \beta \vec{n} = \overrightarrow{BC}$ .Multiplicando-se escalarmente por $\vec{n}$ e usando (b) , segue :

$- \beta ||\vec{n}||^2 = \overrightarrow{BC} \cdot \vec{n}$ .

Logo , $\beta = -\frac{\overrightarrow{BC} \cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2}$ .

Assim , voltando em (a) temos :

$\overrightarrow{AB} = -\frac{\overrightarrow{BC} \cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2} \vec{n}$ . Agora já conseguimos obter o ponto ,pois já temos o ponto ,o ponto e o vetor $\vec{n}$ .Tente concluir .

Muito bom. Tentarei aplicar o seu raciocínio nesta questão. Mas tendo em vista ser uma questão objetiva e de prova, acredito que haja algo mais simplório para a mesma.
De qualquer modo, muito obrigado Santhiago!

por **e8group** » Dom Jul 21, 2013 14:29

santhiago escreveu:Muito bom. Tentarei aplicar o seu raciocínio nesta questão. Mas tendo em vista ser uma questão objetiva e de prova, acredito que haja algo mais simplório para a mesma.
De qualquer modo, muito obrigado Santhiago!

Não há de quê .Acho que uma forma mais simples(não sei é exatamente isto ) é aplicar a fórmula que fornece a distância de um ponto a um plano .Não lembro desta fórmula ,infelizmente tenho extrema dificuldade em decorar fórmulas .Sempre tenho que tirar um tempo a mais para deduzi-las ,a menos que tal dedução seja" trabalhosa" levando muito tempo para obtê-la .Neste caso,acho importante aplicar diretamente a fórmula ,mesmo assim é difícil lembrar .

por **e8group** » Dom Jul 21, 2013 14:43

Se não cometi nenhum equívoco com o raciocínio o módulo do vetor $\\overrightarrow{AB}$ fornece a distância do ponto (1,1,1) ao plano de equação vide propriedade do conjunto S .Como só estamos queremos a soma das coordenadas do ponto A .Vamos verificar :

$B+ \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2} \vec{v} = A$ .

Escolhendo por exemplo $C = (1,1,0) \in S$ temos :

$A = (1,1,1) + \frac{(0,0,-1)} \cdot (1,-1,-2) }{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = (1,1,1) + \frac{2}{6}(1,-1,-2) = (1,1,1) + \frac{2}{6}(1,-1,-2) =( \frac{8}{6} , \frac{4}{6}, \frac{2}{6})$

Logo ,

$\frac{8}{6}+ \frac{4}{6}+ \frac{2}{6} = \frac{14}{6}$ .

por **Jhonata** » Dom Jul 21, 2013 14:54

santhiago escreveu:Se não cometi nenhum equívoco com o raciocínio o módulo do vetor $\\overrightarrow{AB}$ fornece a distância do ponto (1,1,1) ao plano de equação vide propriedade do conjunto S .Como só estamos queremos a soma das coordenadas do ponto A .Vamos verificar :

$B+ \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2} \vec{v} = A$ .

Escolhendo por exemplo $C = (1,1,0) \in S$ temos :

$A = (1,1,1) + \frac{(0,0,-1)} \cdot (1,-1,-2) }{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = (1,1,1) + \frac{2}{6}(1,-1,-2) = (1,1,1) + \frac{2}{6}(1,-1,-2) =( \frac{8}{6} , \frac{4}{6}, \frac{2}{6})$

Logo ,

$\frac{8}{6}+ \frac{4}{6}+ \frac{2}{6} = \frac{14}{6}$ .

Certíssimo, consegui aplicar também aqui o sua ideia chegando na mesma resposta.. É um pouco trabalhosa, mas vale a pena se chegarmos no mesmo resultado.
Mas como já diz o ditado: Sem esforço não há recompensa. Mais uma vez, muito obrigado!

por **MateusL** » Dom Jul 21, 2013 15:00

O vetor normal ao plano

é $\vec{n}=(1,-1,-2)$

Temos que achar $\alpha$ tal que:

$(\vec{b}-\alpha\vec{n})\cdot \vec{n}=0$

Ou seja, um valor de $\alpha$ tal que $\alpha\vec{n}$ seja igual à projeção ortogonal de $\vec{b}$ em relação a

, pois assim, e somente assim, $(\vec{b}-\alpha\vec{n})$ será ortogonal a $\vec{n}$ (em outras palavras, pertencerá a

), implicando que o produto escalar entre esses dois vetores seja igual a zero.

Achando $\alpha$ , o vetor procurado será $\vec{b}-(\alpha\vec{n})$ , que é a projeção de $\vec{b}$ em

.

Abraço!

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