Geometria analítica

por **shirata** » Qua Nov 11, 2009 20:37

Obtenha a equação de uma circunferência de raio R e que passa pelos pontos A e B, nos seguintes casos:

a) A = (1,4), B = (7, -2), R = $2\sqrt[]{5}$ .

eu tentei fazer criando um sistema com os valores de A e B

${1}^{2} + {4}^{2} + A(1) + B(4) + C = 0 {7}^{2} + {-2}^{2} + A(7) + B(-2) + C = 0$

dai descobrindo o valor de "C" com $R = \sqrt[]{{x}^{2} + {y}^{2} -C}$

$2\sqrt[]{5} = \sqrt[]{{1}^{2} + {4}^{2} -C}$

mas fiquei por ai.... minha dúvida é, nesse caso as coordenadas A e B correspondem a mesma circunferência, ou cada coordenada corresponde a uma respectiva equação? E, para encontrarmos a equação da circunferência realmente precisamos de 2 coordenadas?

Grato desde já pela compreenção...

por **Lucio Carvalho** » Qui Nov 12, 2009 09:34

Olá shirata,
Tentarei explicar o exercício.
Primeiramente devemos lembrar que a equação geral da circunferência é: ${(x-h)}^{2}+{(y-k)}^{2}={r}^{2}$

Onde (h, k) é a coordenada do centro da circunferência.

Então, com a ajuda dos dados, construímos o seguinte sistema de duas equações:

${(1-h)}^{2}+{(4-k)}^{2}={(2\sqrt[]{5})}^{2}$

${(7-h)}^{2}+{(-2-k)}^{2}={(2\sqrt[]{5})}^{2}$

-------------------------------------------------------------

Em seguida, resolvemos o sistema:

${(1-h)}^{2}+{(4-k)}^{2}={(7-h)}^{2}+{(-2-k)}^{2}$

${(1-h)}^{2}-{(7-h)}^{2}={(-2-k)}^{2}-{(4-k)}^{2}$

$1-2h+{h}^{2}-49+14h-{h}^{2}=4+4k+{k}^{2}-16+8k-{k}^{2}$

-48+12h=-12+12k

Quer dizer que existem infinitas circunferências que passam por A e B e tem o raio de $2\sqrt[]{5}$

Para. por exemplo k = 0 temos h = 3

Assim, vamos escrever a equação de uma das circunferências:

${(x-3)}^{2}+{(y-0)}^{2}={(2\sqrt[]{5})}^{2}$

${(x-3)}^{2}+{y}^{2}=20$

Espero ter ajudado e até breve!