[Algebra linear e geometria analitica] Duvida

por **lucasdemirand** » Sáb Jul 06, 2013 15:32

Olá pessoal, estou com uma duvida no seguinte exercicio, agradeço quem puder me ajudar.
Ache o vetor u, tal que |u|=3?3 e u é ortogonal ao vetor v(2,3,-1) e ao vetor w(2,-4,6). Qual dos vetores encontrados forma ângulo agudo com o vetor j(0,1,0)

por **e8group** » Dom Jul 07, 2013 21:27

Boa noite .Todo vetor

não nulo é escrito como u = ||u|| u'

onde

é o vetor unitário .Neste caso estamos trabalhando no $\mathbb{R}^3$ ,então seja $u' = (a,b,c) \in \mathbb{R}^3$ tal que (*) a^2+b^2 + c^2 = 1

.Observe que a ortogonalidade mútua entre os vetores u,v,w

implicará um sistema linear homogêneo de duas equações para três incógnitas proveniente do produto interno <u,v> = <u,w> = 0

.Por outro lado podemos substituir os resultados obtidos no sistema acima e substituir-lós em (*)

que nos fornecerá duas respostas distintas(porém iguais em módulo) para uma das variáveis (a,b ou c ) .Após está etapa vamos obter duas resposta possiveis para o exercício satisfazendo a norma de u dada e <u,v> = <u,w> = 0

.Vemos então que os dois vetores obtidos possuem mesma direção e módulo porém sentidos opostos .Sendo assim ,para determinar o sentido de

basta utilizar a seguinte informação "Qual dos vetores encontrados forma ângulo agudo com o vetor j(0,1,0) " .

Alternativamente ,se você possui um pouco de conhecimento sobre o produto vetorial .Sabemos que o vetor $w \wedge v$ é simultaneamente ortogonal a

e a

.Logo , os vetores

e $w \wedge v$ são paralelos e portanto um é múltiplo escalar do outro .Assim ,existe um escalar $\alpha \neq 0$ tal que , $u = \alpha w \wedge v$ .Ora , como $||u|| = 3\sqrt{3}$ ,então $\alpha$ só pode ser $3\sqrt{3}/||w \wedge v||$ ou $- 3\sqrt{3}/||w \wedge v||$ .Mas , o ângulo entre os vetores u ,(0,1,0)

é agudo .Seja $\theta \in (0,\pi/2)$ o ângulo entre os vetores acima .Como $cos\theta > 0$ concluímos <u,(0,1,0) > > 0

, logo ...

Tente concluir .

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