Limites, inclinação da reta tangente

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Limites, inclinação da reta tangente

Mensagempor dani741 » Qua Jul 03, 2013 19:53

1. O ponto p(1,0) está sobre a curva y= sen( \frac{10\pi}{x} )

Estime a inclinação da reta tangente em P.

gostaria de ajuda em como resolver essa questão!
obrigada
dani741
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Re: Limites, inclinação da reta tangente

Mensagempor e8group » Qua Jul 03, 2013 21:56

Boa noite .A equação da reta tangente a curva y = f(x) no ponto (a,f(a)) é dada por

y - f(a) = f'(a)(x-a)

E sua inclinação é f'(a) .

Considerando f(x) = sin(10\pi/x) , pela regra da cadeia f'(x) = sin'(10\pi/x) \cdot (10\pi/x)' = -10\pi cos(10\pi/x)/x^2 .Assim ,

f'(a) = -10\pi cos(10\pi/a)/a^2 é a inclinação da reta tangente a curva dada .Basta fazer as contas com a = 1 .
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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