Quadrado da raiz quadrada

por **liam gallagher** » Qua Nov 11, 2009 23:54

Pessoal, tudo bem?

Estou com uma dúvida que está me quebrando.

Olhem só´, é fato que:
$\sqrt{a^2}=|a|$

A questão é: porque $(\sqrt{a})^2=a$ ?

Por exemplo: $(\sqrt{2})^2=\sqrt{2}*\sqrt{2}=\sqrt{2*2}=\sqrt{4}=2$ (usando a propriedade $\sqrt{ab}=\sqrt{a}*\sqrt{b}$ )

Mas $(\sqrt{-5})^2=\sqrt{-5}*\sqrt{-5}=-5$

Porque não posso usar a propriedade aqui e fazer $\sqrt{-5}*\sqrt{-5}= \sqrt{(-5)*(-5)}=\sqrt{25}=5$ ?

Ou mesmo, porque não usar outra propriedade, $\sqrt{a}=a ^ {1/2}$

De forma que $(\sqrt{a})^2=a^{(1/2)*2}=a^{2*(1/2)}=\sqrt{a^2}=|a|$ ?

Valeu gurizada.

por **thadeu** » Qui Nov 12, 2009 12:08

O grande problema disso tudo é a mania que os professores têm de "cortar" a raiz com o quadrado da potência.
Isso "vicia" o aluno de tal forma que ele não consegue enxergar as propriedades corretamente.

$(\sqrt{-5})^2=\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}\\(\sqrt{-5})^2=\sqrt{-5}\,\sqrt{-5}=\sqrt{(-5)(-5)}=\sqrt{25}$

Quando essa potência tem como base um valor positivo, é mais fácil usar o "corte" da raiz; porém, o correto continua sendo:

$(\sqrt{5})^2=\sqrt{(5)^2}=\sqrt{25}\\(\sqrt{5})^2=\sqrt{5}\,\sqrt{5}=\sqrt{(5)(5)}=\sqrt{25}$

Reparando que tanto para 5, como para -5, sua raiz quadrada, elevada ao quadrado, tem o mesmo resultado, 5; por isso $(\sqrt{a})^2=|a|$ .

por **Lucio Carvalho** » Qui Nov 12, 2009 15:10

Olá thadeu e liam,
Suponho que ambos estejam a trabalhar no domínio IR do números reais.
Então, porque é que estão falando de raízes quadradas de números negativos?
Sabemos que não é possível determinar a raiz quadrada de números negativos no domínio IR.

Por exemplo, não é possível calcular $\sqrt[]{-4}$ em IR.

Assim, cuidado!

${(\sqrt[]{-5})}^{2}\neq\sqrt[]{{(-5)}^{2}}$

Adeus e até breve!

por **liam gallagher** » Qui Nov 12, 2009 16:17

Olá amigos.

Na realidade eu sempre pensei que $(\sqrt{a})^2=\sqrt{a^2}=|a|$

Mas não é. Estou lendo um livro (Elementary Algebra de Barnett Rich) e ele fala que $\sqrt{-5}*\sqrt{-5}=-5$

Se vcs colocarem numa HP, também vai dar -5.

Portanto, $(\sqrt{a})^2=a$

Só queria saber o porque disso. Porque não posso usar as propriedades que postei anteriormente.

Lucio, eu não fiz a restrição de apenas trabalhar nos IR. =]

por **Elcioschin** » Qui Nov 12, 2009 18:04

liam

O que o Lúcio afirmou, muito corretamente, é que a propriedade (Va)*(Va) = V(a²) SOMENTE vale para a POSITIVO.
Isto, porque se a for negativo Va NÃO existe no IR

Se a for negativo vale a seguinte propriedade ----> (Va)*(Va) = (Va)² = [a^(1/2)]² = a

por **liam gallagher** » Qui Nov 12, 2009 19:22

Ahh finalmente entendi!

Obrigado amigos.

Mas, ainda restou uma questão sobre isso.

Porque eu não posso usar as propriedades:
$\sqrt{a}=a^{1/2}$
e
$(a^b)^c=a^{bc}$

para fazer com que $(\sqrt{a})^2=\sqrt{a^2}$ ou que $\sqrt{a^2}=a$ , que não são verdade. ?

por **thadeu** » Qui Nov 12, 2009 21:04

Lúcio, você disse que $(\sqrt{-5})^2 \neq \sqrt{(-5)^2}$ , isso não é verdade. Essa propriedade é verdadeira sim.
Agora, no conjunto dos números complexos onde a unidade imaginária $\,\,i^2=-1$ , e que ,muitos autores, consideram $i=\sqrt{-1}$ ; teremos:

$(\sqrt{-5})^2=\sqrt{-5}\,.\,\sqrt{-5}=\sqrt{(-1)(5)}\,.\,\sqrt{(-1)(5)}=\sqrt{-1}\,.\sqrt{5}\,.\,\sqrt{-1}\,.\,\sqrt{5}=(\sqrt{-1})^2\,.\,(\sqrt{5})^2=(i^2)(5)=(-1)(5)=-5$

Lembrando sempre que $(\sqrt{-1})^2$ é "considerado"

.

Lembre-se daquele exemplo que todo professor de faculdade costuma mostrar:

$\sqrt{-1}=\sqrt{-1}\\\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}\\\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}\\(\sqrt{-1})(\sqrt{-1})=(\sqrt{1})(\sqrt{1})\\(\sqrt{-1})^2=(\sqrt{1})^2\\-1=1$

Isso é correto????
Um abraço!

por **liam gallagher** » Qui Nov 12, 2009 21:44

Mas thadeu, tu falou que $(\sqrt{-5})^2=\sqrt{(-5)^2}$ mas acabou de provar que não é, pois concluiu que
$(\sqrt{-5})^2=-5$
e se sabe que
$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$
Não entendi o que tu queres dizer.

Tu poderia mostrar o que foi feito de errado na tua conta para chegar em -1=1 ?

Obrigado

por **thadeu** » Sex Nov 13, 2009 10:55

Exatamente a falta de uso da propriedade correta, $(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}$ .

Agora pense você, eu parti de dois valores iguais, $\sqrt{-1}=\sqrt{-1}$ , e "provei" que eles eram diferentes???? (-1 = 1)

Cuidado com o problema da falta de uso da propriedade $(\sqrt[m]{x})^n=\sqrt[m]{x^n}\,\,\,,\,\,m \in N\,\,\,e\,\,\,m \geq 2$ ; hoje usamos o famoso "corte", para resolvermos exercícios mais rapidamente e com isso as propriedades corretas ficam de lado.

Errado:

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por **liam gallagher** » Sex Nov 13, 2009 11:37

Mas thadeu, se a propriedade $(\sqrt[m]{x})^n=\sqrt[m]{x^n}$ é verdadeira, como tu falou, mostrando o caso do -1=1 se ela não fosse, como então $(\sqrt{-5})^2=-5$ e $\sqrt{(-5)^2}=5$ ????

Não deveriam ser iguais, se a propriedade vale?

por **thadeu** » Sex Nov 13, 2009 15:39

Liam, a propriedade é:
$(\sqrt{-5})^2=\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{(-5)(-5)}=\sqrt{25}=5\\(\sqrt{5})^2=\sqrt{(5)^2}=\sqrt{(5)(5)}=\sqrt{25}=5$

Isso vale para valores positivos ou negativos.

Se essa operação $(\sqrt{-5})^2=-5$ fosse verdadeira, estaríamos colocando outras propriedades como falsas; além da propriedade da raiz, citada acima, teria também aquela do produto de dois números com mesmo sinal é sempre positivo
(+)(+)=(+)
(-)(-)=(+)

Outra propriedade falsa seria $\sqrt{16}=\sqrt{(4 \times 4)}=\sqrt{4} \times \sqrt{4}=2 \times 2=4$

Para finalizar, $(\sqrt{-5})^2 \neq -5$

por **Elcioschin** » Sáb Nov 14, 2009 12:53

Thadeu

Desculpe-me por discordar de algumas de suas afirmações constantes nas mensagens anteriores.
Como o assunto ficou muito confuso, com exemplos e contra-exemplos, vou tentar resumir:

A ÚNICA propriedade que VALE, para qualquer valor de a (a > 0, a = 0, a < 0) é:

(Va)*(Va) = [Va]² = [a^(1/2)]² = a^[2*(1/2)] = a¹ = a ----> Assim vamos mostrar dois exemplos:

[V(+1)]*[V(+1)] = +1

[V(-1)]*[V(-1)] = - 1

Assim NÃO VALE a propriedade ----> (Va)*(Va) = V(a²) para NENHUM valor da a. Veja porque:

Se a = -1 ----> [V(-1)]*[V(-1)] = V[(-1)²] = V(1) = + - 1 ----> O que é um absurdo para a solução a = +1

Se a = +1 ----> [V(+1)]*[V(+1)] = V[(+1)²] = V(1) = + - 1 ----> O que é um absurdo para a solução a = -1

Espero ter esclarecido o assunto.

por **thadeu** » Sáb Nov 14, 2009 16:27

É Elcio, acho que você está confundindo tudo; a propriedade é válida para qualquer número real.
Agora, o que você quiz dizer com esses valores de a, só mostrou que você se confundiu.

Lembra da propriedade que aprendemos na 5ª série; "numa potência de base positiva, ou negativa, com expoente par, resultado positivo".
Então, quando você quiz mostrar:
$(\sqrt{a})^2=(a^{\frac{1}{2}})^2=(a^2)^{\frac{1}{2}}$ , nesse caso, como pode a^2

ser negativo????

Vou te dizer que "nunca", $\sqrt{-a}\,.\,\sqrt{-a}=-a$ ou, como você escreveu, "jamais" $\sqrt{-1}\,.\sqrt{-1}=-1$ .

Outro erro grande $\sqrt{1}= \pm 1$ ????

Espero ter esclarecido.

por **Elcioschin** » Sáb Nov 14, 2009 23:51

Thadeu

Em momento algum eu quis polemizar: apenas disse que discordava de algumas de suas afirmações e continuo discordando:

Qualquer aluno do Ensino Médio que estudou Números Complexos, sabe que, POR DEFINIÇÃO:

a) i = V(-1) ----> i é a unidade imaginária

b) i² = -1

Estas propriedades podem ser vistas em qualquer livro ou apostila de matemática ou mesmo na Internet. Sugiro que você pesquise para se certificar.

Isto significa que [V(-1)]*[V(-1)] = i*i = i² = -1

Vou repetir agora o que você escreveu na sua mensagem:

Vou te dizer que "nunca", [V(-a)]*[V(-a)] = -a ou, como você escreveu, jamais [V(-1)]*[V(-1)] = - 1

Você há de concordar, caso TENHA PESQUISADO, conforme minha sugestão, que o absurdo desta sua afirmação contraria TOTALMENTE o que eu mostrei acima e que consta em qualquer manual sobre números complexos do mundo inteiro.

Quem sabe alguém do mais do forum com conhecimento sobre o assunto possa dar a sua opinião a respeito.

por **Cleyson007** » Dom Nov 15, 2009 16:22

Olá, boa tarde a todos!

Concordo com a solução apresentada pelo Lúcio Carvalho e pelo Elcioschin e que por sinal muito bem esclarecida.
Veja:

Quando se tem o produto de duas raízes, por exemplo:

$\sqrt[2]{2}*\sqrt[2]{2}$

É a mesma coisa de dizermos:

$({\sqrt[2]{2}})^{2}$
ou
${({2}^{\frac{1}{2}})}^{2}$
Que tem como resposta 2

Da mesma forma poderemos fazer isto com um número negativo:

$\sqrt[2]{-2}*\sqrt[2]{-2}$

$({\sqrt[2]{-2}})^{2}$

Conservando as bases e somando os expoentes:

$({-2})^{\frac{1}{2}}*({-2})^{\frac{1}{2}}=-2$

Espero ter ajudado!

por **Elcioschin** » Qua Nov 18, 2009 19:08

Thadeu

Gostaria de saber se você pesquisou e sua conclusão a respeito deste assunto.
Caso ainda tenha alguma dúvida, favor fazer contato.
O objetivo é que o assunto fique bem claro, para que usuários do forum não fiquem com conceito errado a respeito.

por **thadeu** » Qua Nov 18, 2009 21:21

Procurei em vários autores, Scipione Di Pierro Netto, Antônio Nicolau Youssef, Gelson Iezzi entre outra apostilas.
Todos eles mostram que a unidade imaginária é i^2=-1

.

No entanto, um colega me falou sobre "Sofisma": é um raciocínio aparentemente válido, mas inconclusivo, pois é contrário às próprias leis. Também são considerados sofismas os raciocínios que partem de premissas verdadeiras ou verossímeis, mas que são concluídos de uma forma inadmissível ou absurda. Por definição, o sofisma tem o objetivo de dissimular uma ilusão de verdade, apresentado-a sob esquemas que aparentam seguir as regras da lógica.

Agora veja você, foi passado nesse debate que:
$a)\,\,\,\,(\sqrt{-5})^2 \neq \sqrt{(-5)^2}$
Essa é uma propriedade que ensinamos no curso fundamental.

$b)\,\,\,\,(\sqrt{2})^2=(2^{\frac{1}{2}})^2=2\\(\sqrt{-2})^2=(-2^{\frac{1}{2}})^2=-2$

Tá, agora me diga que a propriedade (x^b)^c=(x^c)^b

não é verdadeira...
Logo. o que foi falado está correto nos dois casos, nesse que o colega escreveu e nesse aqui:
$[(-2)^{\frac{1}{2}}]^2=[(-2)^2]^{\frac{1}{2}}$

Um deles é sofisma, qual seria???

por **Elcioschin** » Qui Nov 19, 2009 09:31

Thadeu

1) Vou primeiro comentar o item a:

Agora veja você, foi passado nesse debate que:
[V(-5)]² diferente de V[(-5)²]
Essa é uma propriedade que ensinamos no curso fundamental.

Tanto eu quanto o Lúcio afirmamos categoricamente que a desigualdade acima era abolutamente verdadeira, e, em princípio você não tinha concordado. Logo em seguida eu provei que era verdadeira, baseada na teoria dos números complexos. Parece que agora você se convenceu, o que é muito bom.

Só não concordo com a sua última frase acima: como você pode ver, V(-5) é um número imaginário [V(5)*i] e no Ensino Fundamental não se ensina propriedades sobre Números Complexos.

2) Qunto ao item b:

Concordo com tudo o que foi escrito neste item:

[V(+2)]² = [(+2)^(1/2)]² = (+2)^[(2*(1/2)] = (+2)^1 = +2 ---> O acréscimo do sinal + foi de minha iniciativa

[V(-2)]² = [(-2)^(1/2)]² = (-2)^[2*(1/2)] = (-2)^1 = -2

Note que isto foi exatamente o que eu sempre postulei nas minhas mensagens anteriores: [V(a)]² = a qualquer que seja o valor de a. Esta é a ÚNICA propriedade geral válida.

A expressão (x^b)^c = (x^c)^b é ABSOLUTAMENTE verdadeira e ainda é igual a x^(b*c)

Não entendí a sua frase: "Logo. o que foi falado está correto nos dois casos, nesse que o colega escreveu e nesse aqui:"

O que o seu colega escreveu está ABSOLUTAMENTE certo. Vou apenas complementar em vermelho:

[(-2)^(1/2)]² = [(-2)²]^(1/2) = (-2)^[2*(1/2)] = (-2)¹ = - 2

O que o seu colega escreveu corrobora tudo que eu afimei anteriormente

Assim, não entendo onde está o sofisma por você citado. Se puder explicar melhor eu gostaria muito.

por **thadeu** » Qui Nov 19, 2009 11:27

Elcio, o número $\sqrt{-5}$ é um número imaginário, já $(\sqrt{-5})^2$ não é.

Veja bem, $\sqrt{-5}$ não existe no conjunto dos números reais, e o número $(\sqrt{-5})^2$ existe, logo não é imaginário.

Repare que o problema não está em um número ser imaginário ou real, está na propriedade $(\sqrt{-5})^2=\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}$ .

O sofisma está na maneira de usar a propriedade $(\sqrt{a})^2=(a^{\frac{1}{2}})^2=a^1=a$ .

Quando a base é positiva, nem lembramos daquela propriedade fundamental, "base positiva e expoente par, resultado positivo", porém, ao se tratar de base negativa, nunca podemos esquecer "base negativa e expoente par, resultado positivo".

$(-2^{\frac{1}{2}})^2$ tem base negativa $(-2^{\frac{1}{2}})$ com expoente par (2), logo o resultado não pode ser negativo.

Lembrando que eu estou debatendo sobre $(\sqrt{-5})^2$ e não sobre $\sqrt{-5}$ .

por **Elcioschin** » Qui Nov 19, 2009 12:19

Thadeu

Concordo com quase tudo o que você afirmou, menos uma única linha:

Repare que o problema não está em um número ser imaginário ou real, está na propriedade [V(-5)]² = V[(-5)²] = V(25).

O que você escreveu está errado:

[V(-5)]² NÃO É IGUAL A V[(-5)²] e muito menos é igual a V(25)

Se esta dupla igualdade fosse verdadeira teríamos:

a) No 1º membro à esquerda temos: [V(-5)]² = [V(5)*V(-1)]² = [V(5)*i]² = [V(5)]²*(i)² = [5^(1/2)]²*i² = 5¹*(-1) = - 5

Isto bate com a fórmula geral [V(a)]² = a para QUALQUER valor de a (neste caso a = -5)

b) No último membro à direita temos: V(25) = 5 (ou mais corretamente = + 5 ou = -5, já que tanto +5 como -5 elevado ao quadrado resulta 25)

Neste caso teríamos um absurdo, comparando os lados esquerdo e direito da dupla desiguadade:

I) -5 = 5
ou
II) - 5 = + 5 ou -5 = -5

Então mais uma vez insisto: a ÚNICA propriedade que vale é:

Para qualquer número a (positivo, negativo, ou nulo) ----> [V(a)]² = a

Assim NÃO vale a propriedade [V(a)]² = V[(a)²]

por **thadeu** » Qui Nov 19, 2009 12:47

Elcio, se você está dizendo que a propriedade é válida para qualquer a (positivo, negativo ou nulo), não estou entendendo porque para a = -5 (negativo), ela não vale...

Vou colocar mais uma vez a prova de um "absurdo" que está mostrando exatamente o que eu quero dizer sobre sofisma:

$\sqrt{-1}=\sqrt{-1}$

$\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}$

$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}$

$(\sqrt{-1})(\sqrt{-1})=(\sqrt{1})(\sqrt{1})$

$(\sqrt{-1})^2=(\sqrt{1})^2$

-1=1

Olha aí o que eu quero dizer sobre sofisma, parece correto, mas está errado...
Onde está o erro???
Na penúltima linha.
Exatamente no motivo de nosso debate, se for $(\sqrt{-1})^2 \neq \sqrt{(-1)^2}$ , então está provado que 1 é igual a -1; e isso é correto???

por **Elcioschin** » Qui Nov 19, 2009 14:14

Thadeu

Acho que estamos girando em círculos:

Como eu afirmo e afirmarei sempre a ÚNICA propriedade válida, para qualquer valor de a:

[V(a)]² = a

Para a = +5 -----> [V(+5)]² = +5

Para a = 0 ------> [V(0)]² = 0

Para a = -5 ----> [V(-5)]² = -5

Viu como apropriedade vale para QUALQUER valor de a ?

Quanto ao teu exemplo de sofisma o erro NÃO está na PENÚLTIMA linha!!! O erro está na 3ª linha.

por **thadeu** » Qui Nov 19, 2009 15:37

Então quer dizer que $\sqrt{\frac{a}{b}} \neq \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ??? (3ª linha)

Veja as propriedades:

(+1)(+1)=+1

$(\sqrt{a})(\sqrt{b})=\sqrt{ab}$

Dessas 4 propriedades tem alguma falsa???

Acredito que não...

Usando a terceira propriedade

$(\sqrt{-1})(\sqrt{-1}) \neq (\sqrt{-1})^2$ ?????

Então, usando a quarta propriedade

$(\sqrt{-1})(\sqrt{-1}) \neq \sqrt{(-1)(-1)}$ ????

Usando a segunda propriedade

$\sqrt{(-1)(-1)} \neq \sqrt{+1}$ ?????

Vejo que se você não se convenceu agora, teremos que rever todas essas propriedades, pois elas são falsas...

por **Rodriguinho** » Qua Nov 25, 2009 01:20

Caro thadeu, não precisa ir tão longe pra resolver essa questão. Atenha-se a poucas coisas. Veja isso aqui:

1) Você afirmou que o que o Lucio Carvalho escreveu está errado, mas na verdade está certo. O Lucio disse que $(\sqrt{-5})^2\ne\sqrt{(-5)^2}$ , e isso é VERDADE.
Para confirmar, veja que $(\sqrt{-5})^2 = \sqrt{-5}\sqrt{-5} = -5$ .
E veja também que $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$ .
E como o Lucio disse, $-5\ne5$ . Esse é o único desenvolvimento correto. Qualquer outro está errado.

2) Você tentou mostrar que o que o Lucio escreveu estava errado usando uma sequência de 6 linhas (o tal "sofisma") que começa em $\sqrt{-1}=\sqrt{-1}$ e termina em -1=1

. E você disse que, como isso é um absurdo, o erro estaria na transformação da quinta para a sexta linha. Pois bem, o erro NÃO está ali. O erro na verdade está na transformação da segunda para a terceira linha. Veja porque:

Segunda linha: $\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}$
até aqui tudo bem, pois, realmente, $\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}=-1$ , logo o primeiro e o segundo membros da igualdade são idênticos.

Terceira linha: $\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}$
aqui aconteceu o erro. Vamos reescrever essa terceira linha substituindo $\sqrt{1}$ por

e $\sqrt{-1}$ por

. Fica assim:
$\frac{i}{1}=\frac{1}{i}$
O primeiro membro vira

e o segundo membro vira $i^{-1}$ . Fica:
$i=i^{-1}$
Mas é sabido, dos números complexos, que $i^{-1}=-i$ . Logo, no final das contas, o que a terceira linha afirma é que i=-i

, o que não é verdade.

Desse modo, quem está errada é a terceira linha. E, consequentemente, todas as outras que se seguem.

Thadeu, tente ler e entender bem tudo o que eu escrevi, e atenha-se somente ao que está aqui, sem ficar procurando em fontes externas. Eu escrevi tudo o que é necessário pra entender, então gaste o tempo que for preciso raciocinando em cima do que está aí. Acredito que você vá compreender por conta própria. Valeu!!!

por **thadeu** » Qua Nov 25, 2009 15:10

É Rodrigo, então é mentira que $\sqrt{6}=\sqrt{(3)(2)}=\sqrt{3}\,.\,\sqrt{2}$ ???

Se você achar que é verdade, então porque $\sqrt{-5}\,.\,\sqrt{-5}=\sqrt{(-5)(-5)}$ também não é ???

Na sua confirmação você simplesmente "pulou" de $\sqrt{-5}\,.\,\sqrt{-5}$ para

; baseado em "qual operação" ???

por **Rodriguinho** » Qua Nov 25, 2009 15:24

Não, não é mentira que $\sqrt{6}=\sqrt{(3)(2)}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}$ , sabe por quê? Porque 3>0

e

. Se ambos fossem menores do que zero, essa propriedade não valeria.

E eu afirmei que $\sqrt{-5}\sqrt{-5}=-5$ baseado no fato de que $\sqrt{-5}=i\sqrt{5}$ , onde

é a unidade imaginária. Logo, $\sqrt{-5}\sqrt{-5}=(i\sqrt{5})(i\sqrt{5})=(i)^2(\sqrt{5})^2=(-1)\cdot(5)=-5$ .

Thadeu, eu reli tudo o que você escreveu nesse tópico, e acho que já sei o que está errado no seu raciocínio.

Você está achando que as propriedades $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ , $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , (x^b)^c=(x^c)^b

, entre outras, são válidas pra qualquer valor de

,

ou

, certo? Pois bem, isso não é verdade. Elas são válidas pra alguns valores, mas inválidas pra outros.

Lembra da famosa condição de existência? Todas essas propriedades têm uma condição de existência, que quase sempre é ignorada. Até as propriedades mais simples têm condições de existência, mas a gente às vezes nem repara. Por exemplo, as duas propriedades a seguir têm condições de existência:

$\frac{1}{1/a}=a$
e
$ax=x\rightarrow a=1$

Elas parecem sempre corretas, mas veja que a primeira só vale se $a\ne 0$ e a segunda só vale se $x\ne 0$ .

Agora esquecendo esses dois exemplos e voltando ao que interessa, vou enunciar as duas primeiras propriedades junto com suas condições de existência:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ SOMENTE SE a>0

E

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ SOMENTE SE a>0

E

Agora, pra finalizar, eu afirmo pra você que a propriedade (x^b)^c=(x^c)^b

nem sempre é verdadeira, isto é, ela tem, sim, suas condições de existência. Quer ver?

Sejam f(x)=x^c

e

. Desse modo, a propriedade (x^b)^c=(x^c)^b

equivale a dizer que:

f(g(x)) = g(f(x))

Certo? Ora, essa igualdade só vai ser verdadeira se f(x)

e

forem funções inversas uma da outra.

De fato, no caso de b=2

e

, temos $f(x)=\sqrt{x}$ e g(x)=x^2

, que são funções inversas uma da outra. Certo??? QUASE!!

A verdade é que $f(x)=\sqrt{x}$ e g(x)=x^2

são funções inversas SOMENTE SE x>0

. Se

, elas não são inversas.

Portanto, vou enunciar essa propriedade junto com sua condição de existência:

(x^b)^c=(x^c)^b

SOMENTE PARA OS VALORES EM QUE f(x)=x^c

E

SÃO FUNÇÕES INVERSAS

O que quer dizer que $\sqrt{x^2}$ e $(\sqrt{x})^2$ só são iguais se x>0

. Se

, não são iguais.

Agora você concorda com o que disseram o Lúcio Carvalho e o Elcioschin?

Desculpe pelo texto enorme!

por **thadeu** » Qua Nov 25, 2009 15:40

Em se tratando de FUNÇÕES, a conversa muda de figura, só que o problema está dentro da ARITMÉTICA, não tem $f(x)\,\,\,ou\,\,\,g(x)$ ; aqui está sendo colocado $(\sqrt{-5})^2$ , e você ainda não me disse qual foi a operação utilizada na passagem $\sqrt{-5}\,.\,\sqrt{-5}=-5$ .

Não se esqueça de que isso é ARITMÉTICA, não existe nenhuma incógnita nesse caso.

por **Rodriguinho** » Qua Nov 25, 2009 15:53

Eu disse sim, Thadeu. Nas primeiras linhas do meu post anterior. Pode ler lá.

Eu me baseei no fato de que a raiz de

é igual à unidade imaginária

multiplicada pela raiz de

. Isto é:

$\sqrt{-5}=i\cdot\sqrt{5}$

Pode conferir. Isso é verdade sim. Desse modo, temos:

$\sqrt{-5} \cdot \sqrt{-5} = i \cdot \sqrt{5}\cdot i \cdot \sqrt{5} = (i)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = (-1) \cdot (5) = -5$

Parece que você está se baseando somente na propriedade $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ , como se ela pudesse ser aplicada pra qualquer valor de

e

. Mas isso não é verdade; essa propriedade não pode ser aplicada quando a<0

e

.

E esse é justamente o caso de $\sqrt{(-5)\cdot(-5)}$ . Nesse caso, você não pode lançar mão da propriedade para afirmar que $\sqrt{(-5)\cdot(-5)}=\sqrt{-5}\cdot\sqrt{-5}$

E agora? Convencido de que $\sqrt{-5}\cdot\sqrt{-5}=-5$ ? Se não estiver, por que não?

por **thadeu** » Qua Nov 25, 2009 16:05

Ótimo, você disse que não era mentira que $\sqrt{6}=\sqrt{3}\,.\,\sqrt{2}$ .

E como ficaria $\sqrt{-6}=\sqrt{-3}\,.\,\sqrt{2}=\sqrt{3}\,.\,\sqrt{-2}$ , estaria errado?

por **Rodriguinho** » Qua Nov 25, 2009 16:36

Não, não estaria errado que $\sqrt{-6}=\sqrt{-3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{-2}$ . Isso está certo. Veja o que eu escrevi no post anterior:

Rodriguinho escreveu:Parece que você está se baseando somente na propriedade $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ , como se ela pudesse ser aplicada pra qualquer valor de e . Mas isso não é verdade; essa propriedade não pode ser aplicada quando e .

Só pra deixar mais claro ainda: essa propriedade não pode ser aplicada quando a<0

e

SIMULTANEAMENTE.

Suponha que

é um número real positivo. Eu afirmo que é sempre verdade que $\sqrt{-a}=i\cdot\sqrt{a}$ . Pode conferir.

Assim, $\sqrt{-6}=i\cdot\sqrt{6}$
Além disso, $\sqrt{-3}\cdot\sqrt{2}=i\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=i\cdot\sqrt{6}$
E também $\sqrt{3}\cdot\sqrt{-2}=\sqrt{3}\cdot i\cdot\sqrt{2}=i\cdot\sqrt{6}$

Veja então que, supondo

e