[maximos e minimos] Problemas de minimos e maximos

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[maximos e minimos] Problemas de minimos e maximos

Mensagempor amigao » Seg Jun 24, 2013 22:28

Não consegui fazer. Como começo.

Considere a curva y=1-x^2 , 0\leq x \leq1. Traçar uma tangente a curva tal que a area do triangulo que ela forma com os eixos coordenados seja minima.

agradeço.
amigao
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Re: [maximos e minimos] Problemas de minimos e maximos

Mensagempor young_jedi » Ter Jun 25, 2013 17:49

primeiro calculando a derivada pra achar o coeficiente angular da reta tangente temos

f'(x)=-2x

vamos supor que a reta seja tangente a parábola em um ponto x=a sendo assim o coeficiente sera

-2a

e

y=1-a^2

portanto a equação da reta sera

\frac{y-(1-a^2)}{x-a}=-2a

y=-2a(x-a)+1-a^2

y=-2ax+a^2+1

agora encontrando os pontos onde ela cruza nos eixos

y_0=-2a.0+a^2+1

y_0=a^2+1

e

0=-2ax_0+a^2+1

x_0=\frac{a^2+1}{2a}

a área sera dada por

A=\frac{x_0.y_0}{2}=\frac{(1+a^2)(1+a^2)}{4a}=\frac{(1+a^2)^2}{4a}

derivando com relação a a para encontra o valor de máximo

A'=\frac{4a(1+a^2)}{4a}-\frac{(1+a^2)^2}{4a^2}


A'=\frac{3a^4+2a^2-1}{4a^2}=0

portanto

3a^4+2a^2-1=0

dai tiramos

a^2=\frac{1}{3}

a=\pm\frac{1}{\sqrt3}

com isso você determina a reta
young_jedi
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.

Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}

Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.

Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?

Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.

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