Limite/Calculo I

por **Diego Silva** » Ter Jun 18, 2013 21:17

$\lim_{\ x\to8}\frac{3\sqrt[3]{x}-6)}{x-8}$

tentei fazer mas não consegui, parece ser simples mas não peguei a logica

por **temujin** » Ter Jun 18, 2013 23:16

Essa é uma indeterminação $\frac{0}{0}$ , então vc pode aplicar l'Hospital:

$\lim_{x \to 8} \frac{3 \sqrt[3]{x}-6}{x-8}=\lim_{x \to 8}\frac{3.\frac{1}{3}.\frac{1}{x^{2/3}}}{1}=\lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2/3}}=\frac{1}{4}$

por **Diego Silva** » Qua Jun 19, 2013 21:00

temujin escreveu:Essa é uma indeterminação $\frac{0}{0}$ , então vc pode aplicar l'Hospital:

$\lim_{x \to 8} \frac{3 \sqrt[3]{x}-6}{x-8}=\lim_{x \to 8}\frac{3.\frac{1}{3}.\frac{1}{x^{2/3}}}{1}=\lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2/3}}=\frac{1}{4}$

estou em limite ainda não sei L'Hospital tem outra forma, mesmo que seja mais trabalhosa?

por **temujin** » Qua Jun 19, 2013 22:33

Aí vc precisaria encontrar alguma forma de fatorar, mas agora eu não consigo ver nenhuma...

Se mais alguém souber, por favor se manifeste. *-)

por **e8group** » Qua Jun 19, 2013 23:13

Podemos deixar em evidência o número 3 , e ainda usando propriedades operatórias de limites ,obtemos :

$\lim_{x\to 8} \frac{3\sqrt[3]{x} -6}{x-8} = 3 \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} -2}{x-8}$ .

Mas , $x - 8 = (\sqrt[3]{x})^3 - 2^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)$ .

Assim ,

$\lim_{x\to 8} \frac{3\sqrt[3]{x} -6}{x-8} = 3 \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} -2}{(\sqrt[3]{x} - 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)}$ .

Agora tente concluir .

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