Inequação Modular

por **viniciusgonzalez** » Seg Jun 03, 2013 19:42

Boa noite pessoal, estou com algumas dúvidas em relação a inequação modular com 2 ou mais módulos.
Dei uma pesquisada aqui pelo fórum e não encontrei nada que sanasse minha dúvida.
Vamos lá.

|x+4|<=|2x-6|

Resolvi assim

x+4 <= 2x - 6
-x <= -10 (-1)
x => 10

x+4 <= -2x + 6 (repare que não virei o sinal de desigualdade)
3x <= 2
x<= 2/3

Até aí tudo bem, está batendo direitinho com meu gabarito. Porém tem essa questão que é parecida.

|3+2x| < |4-x|

Tentei resolver do mesmo jeito!

3+2x < 4-x
3x<1
x<1/3

3+2x < -4 +x (Repare que TAMBÉM não virei o sinal de desigualdade)
x < -7

Porém no meu gabarito é x > -7, e eu ja revirei toda internet e não estou conseguindo entender por quê. Alguém pode me ajudar?

por **e8group** » Seg Jun 03, 2013 22:11

Na verdade temos que considerar 4 possibilidades ,são elas :

(1) $x-4 \geq 0$ e $3/2 + x \geq 0 \iff x \in [4,+\infty)$

(2) x-4 < 0

e $3/2 + x < 0 \iff x \in (-\infty,-3/2)$

(3) x-4 > 0

e

,neste caso a interseção é vazia .

(4) x-4 < 0

e $3/2 + x > 0 \iff x \in (-3/2,4)$

Observe que o conjunto solução de 2|3/2 + x| = |3+2x| < |4-x| = |x-4|

pelo caso (1) e (2) são iguais , como a interseção de (1) por (2) é vazia , a solução tem satisfazer (1) ou (2).Veja ,

$x-4 < 3 +2x \implies x > -7$ , logo $S_2 = (-7,+\infty) \cap ( -\infty,-3/2) = (-7,-3/2)$ é um conjunto solução .Como no caso (3) a interseção é vazia ,só restou o última possibilidade .Segue então

$-(x-4) < 3+2x \implies 3x > 1 \implies x > 1/3$ e portanto $S_4 = (1/3,+\infty) \cap (-3/2,4) = (1/3,4)$ é o conjunto solução .Logo a reunião dos dois conjuntos obtidos acima é a solução da desigualdade .

O gabarito está errado , 10 > - 7 , mas |4-10|=6 < |3+20| = 23