[Limite] Questão de limite

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[Limite] Questão de limite

Mensagempor _bruno94 » Sáb Jun 01, 2013 20:46

Boa noite, pessoal! Tudo bom?
Eu estava querendo uma ajudinha pra calcular o limite \lim_{x\rightarrow1}\frac{{{cos\left(\frac{\pi}{2} \right)}\cdot x}}{1-x}.
Sinceramente, não entendi. Dá uma indeterminação do tipo 0/0. Fiz no Wolfram Alpha e ele indicou 0 como resposta.
Desde já, obrigado.
_bruno94
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Re: [Limite] Questão de limite

Mensagempor e8group » Dom Jun 02, 2013 12:48

Considere \begin{matrix} f : & \mathbb{R}\setminus\{1\} \mapsto \mathbb{R}\\ & x \mapsto \dfrac{cos(\pi/2)x}{x-1} \end{matrix} .

Observe que para quaisquer x \in D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\} , a função é constante , e é f(x) = 0 (pois cos(\pi/2) = 0 ) . Assim ,quando x \to 1 (observe que x \neq 1 ) o limite de f(x) é 0 .
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Re: [Limite] Questão de limite

Mensagempor _bruno94 » Sáb Jun 08, 2013 19:32

Entendi. Obrigado. :)
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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