[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

[ferfer]

Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Então, eu fiz um parecido que era provar o mdc( 2n + 1 , n), usando o algoritmo de Euclides... só que foi fácil!
Este que postei no forum, eu não consegui desenvolver! Há outra maneira sem algoritmo de Euclides?

Obrigado

[e8group]

Já pensou em supor dois casos : 1°) caso : é impar ; 2º) caso : é par ,para ambos casos , existe algum número inteiro é impar então ;caso contrário . Tente analisar os dois casos .

[ferfer]

Santhiago,

Obrigado pela resposta.
Então, numa questão que é necessário provar, eu posso substituir os casos (par e ímpar) por números? Ou vc não queria dizer isso?

Porque os exercícios de 'calcule' eu consigo realizar tranquilamente. Já os de 'prove', tenho esta dificuldade.

Obrigado

[e8group]

Outra alternativa que pensei .

Podemos escrever que .Assim , se , então divide e .Mas ,desde que divide ,necessariamente dividirá ou .Analisando ambos casos ,pela igualdade concluímos que (pois caso contrário ele não dividiria , nem mesmo )

Santhiago,

Obrigado pela resposta.
Então, numa questão que é necessário provar, eu posso substituir os casos (par e ímpar) por números? Ou vc não queria dizer isso?

Porque os exercícios de 'calcule' eu consigo realizar tranquilamente. Já os de 'prove', tenho esta dificuldade.

Obrigado

Não precisamos generalizar .Se é par então tal que ,e se ele for impar .

[e8group]

Obs .: Foi mencionado que divide e ,mas isto não foi provado.Esta prova é simples,ela segue dos itens + hipótese de .De fato podemos usar para provar que divide , assim , como ,pois :

que resulta :







Agora,multiplicando por e por ,obtemos






Suponha que os números inteiros sejam, respectivamente, o resultado da divisão de e por ; assim multiplicando-se por (é claro que ) obtemos ,



e

.

Como então o que implica divide .Analogamente ,chega-se a conclusão que divide .

Agora, basta utilizar este resultado + os itens p/ concluir que .Espero que ajude .

Por enquanto é isso que pensei em utilizar .

[ferfer]

Santiago,

Perfeito! Ótima explicação... Deu para entender e evoluir bastante.

Obrigado