[Vetor diretor] Encontrando um vetor diretor

por **amigao** » Sex Mai 17, 2013 13:19

Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano ?1 : x+y+z = 0 e que forma um angulo de 45º com o plano ?2 : x ? y = 0.

Não tenho a minima ideia como faz. Tudo o que eu faço encontro uma equação com as 3 incognitas e mais nada.

por **LuizAquino** » Sáb Mai 18, 2013 12:11

amigao escreveu:Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano ?1 : x+y+z = 0 e que forma um angulo de 45º com o plano ?2 : x ? y = 0.

amigao escreveu:Não tenho a minima ideia como faz. Tudo o que eu faço encontro uma equação com as 3 incognitas e mais nada.

Primeiro, pense no seguinte: quantos vetores diretores uma reta tem? A resposta é: infinitos!

Já que uma reta tem infinitos vetores diretores, é de se esperar que a resolução deste exercício nos leve a um conjunto infinito de soluções. Depois, basta escolher um elemento deste conjunto solução, já que o exercício diz "Ache um vetor diretor (...)".

Para resolver o exercício, precisamos montar um sistema envolvendo as três incógnitas, que são na verdade as coordenadas de um vetor diretor da reta.

Por exemplo, suponha que um vetor diretor da reta seja $\vec{d} = (a,\, b,\, c)$ .

Como a reta é paralela ao plano x + y + z = 0, temos que o vetor diretor dela é ortogonal ao vetor normal deste plano. Lembrando que um vetor normal deste plano é $\vec{n}_{1} = (1,\,1,\,1)$ , temos que:

$(a,\,b,\,c)\cdot (1,\,1,\,1) = 0 \implies a + b + c = 0$

Por outro lado, como a reta forma 45° com o plano x - y = 0, temos que o vetor diretor dela também forma 45° com o vetor normal deste plano. Lembrando que um vetor normal deste plano é $\vec{n}_{2} = (1,\,-1,\,0)$ , temos que:

$\cos 45^\circ = \dfrac{(a,\,b,\,c)\cdot (1,\,-1,\,0)}{\|(a,\,b,\,c)\|\|(1,\,-1,\,0)\|} \implies a - b = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\,$ $\implies -2ab = c^2$

Deste modo, temos o seguinte sistema:
$\begin{cases} a + b + c = 0 \\ -2ab = c^2 \end{cases}$

Agora tente continuar o exercício a partir daí. Ao resolver este sistema, você encontrará que ele possui infinitas soluções (como já era esperado).