[Derivada] Derivada por definição

por **temujin** » Qui Mai 16, 2013 13:07

V ou F:

Se f'(a) = 5, então, $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{f(a-2h)-f(a+3h)}=1$

por **Man Utd** » Qui Mai 16, 2013 20:19

olá.
$f'(a)=5\Leftrightarrow f(a)=5a$

$\\\\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{f(a-2h)-f(a+3h)} \\\\\\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{5a+5h-5a+5h}{5a-10h-5a-15h} \\\\\\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{10h}{-25h} \\\\\\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{10}{-25}=-\frac{10}{25}=-\frac{2}{5}$

vc tem o gabarito?

por **e8group** » Qui Mai 16, 2013 22:12

Man Utd ,tome cuidado ! Não necessariamente $f'(a) =5 \implies f(a) = 5a$ e $f(a) = 5a \implies f'(a)=5$ .Além disso ,você está considerando que

é a variável independente da função

,note que

pode ser também apenas um ponto do domínio da função

tal que sua derivada aplicada neste ponto resulta 5,isto é , f'(a) = 5

.

O que podemos fazer é usar a hipótese f'(a) = 5

e manipular o limite de forma que ele fique com a forma do limite que é a definição da derivada .Observe :

$\lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{f(a-2h)-f(a+3h)}= \lim_{h\to0} \frac{\dfrac{f(a+h)- f(a)}{h}- \dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}}{\dfrac{f(a-2h)- f(a)}{h}- \dfrac{f(a+3h)-f(a)}{h}}$ .

Agora tente concluir .

por **temujin** » Sex Mai 17, 2013 00:04

santhiago escreveu:Man Utd ,tome cuidado ! Não necessariamente $f'(a) =5 \implies f(a) = 5a$ e $f(a) = 5a \implies f'(a)=5$ .Além disso ,você está considerando que é a variável independente da função ,note que pode ser também apenas um ponto do domínio da função tal que sua derivada aplicada neste ponto resulta 5,isto é , .

O que podemos fazer é usar a hipótese e manipular o limite de forma que ele fique com a forma do limite que é a definição da derivada .Observe :

$\lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{f(a-2h)-f(a+3h)}= \lim_{h\to0} \frac{\dfrac{f(a+h)- f(a)}{h}- \dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}}{\dfrac{f(a-2h)- f(a)}{h}- \dfrac{f(a+3h)-f(a)}{h}}$ .

Agora tente concluir .

É falso mesmo. Eis a solução de um colega em outro fórum:

$\lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{f(a-2h)-f(a+3h)}= \lim_{h\to0} \frac{\dfrac{f(a+h)- f(a)}{5h}- \dfrac{f(a-h)-f(a)}{5h}}{\dfrac{f(a-2h)- f(a)}{5h}- \dfrac{f(a+3h)-f(a)}{5h}} = \lim_{h\to0} \frac{\dfrac{1}{5}.\dfrac{f(a+h)- f(a)}{h}+ \dfrac{1}{5}.\dfrac{f(a-h)-f(a)}{-h}}{\dfrac{f(a-2h)- f(a+3h)}{5h}} = \lim_{h\to0} \frac{\dfrac{1}{5}.f'(a)+ \dfrac{1}{5}.f'(a)}{-\dfrac{f(a-2h+5h)- f(a-2h)}{5h}} = \lim_{h\to0} \frac{-2}{f'(a-2h)}$

Como h tende a zero, f'(a-2h)=f'(a)