[Geometria analítica] Duas retas concorrentes

por **fernandocez** » Qua Mai 08, 2013 18:48

Companheiros venho mais uma vez solicitar a ajuda de vcs. A questão é a seguinte:

No plano cartesiano, a equação x² - 4xy - 5y² = 0 representa:
a) uma hipérbole
b) uma parábola
c) uma elipse
d) duas retas paralelas
e) duas retas concorrentes (resposta do gabarito)

Eu tentei ajuda nos livros de geometria analítica e nenhum exemplo parecido com a situação. Tentei desmenbrar em duas equações e não consegui.
Como faço para reconhecer que essa equação são duas retas concorrentes? Existe um método prático? Ou outro recurso? Agradeço quem puder ajudar.

por **e8group** » Qua Mai 08, 2013 21:39

Se não me engano geralmente utilizamos mudança de coordenadas para eliminar o termo

.Mas no caso em questão ,podemos fatorar tal equação .Veja :

$x^2 -4xy -5y^2 = (x^2 -4xy -5y^2 ) + 0 = (x^2 -4xy -5y^2 ) + -xy +xy = [x^2 +xy ] + [-4xy -xy -5y^2] = x[x+y] -5y[x+y] = [x+y][x-5y] = 0 \implies \begin{cases} x+y = 0 \\ x -5y = 0 \end{cases}$ .

Tente observar se a interseção é diferente do vazio .Comente as dúvidas .

por **e8group** » Qua Mai 08, 2013 22:08

Pensando bem a última implicação não é verdadeira .Como vimos (*) x^2-4xy-5y^2 = [x+y][x-5y] = 0

, portanto

$x^2-4xy-5y^2 = 0 \implies r: x+y = 0$ ou s: x-5y = 0

.A equação (*)

é a reunião das retas

e

(se é assim que podemos dizer ) .Para estudar a posição relativa entre as retas ,inicialmente podemos tomar a interseção entre elas ,isto é , resolver aquele sistema que já foi citado .Se $s \cap r \neq \varnothing$ podemos concluir que r,s