[P.A]em um triângulo retângulo

por **marcelofacf** » Ter Mai 07, 2013 16:48

Olá pessoal. Preciso, muito, da ajuda de vocês neste exercício da UFPR:
"Os lados de um triangulo retangulo estão em progressão aritmética de razão 4. A soma de seus lados é igual a:
a)48 b)15 c)18 d)30 e)72"

Eu tentei fazer, achei os lados como sendo 4, 8 e 12 e na soma encontrei 24. O que será que eu estou fazendo de errado?
Muito obrigado, desde já, pela ajuda.

Marcelo.

por **Luis Gustavo** » Ter Mai 07, 2013 17:41

Os três lados estão em progressão aritmética de razão quatro, então vamos chamá-los de:

O problema nos dá que o triângulo é retângulo. O maior lado, em um triângulo retângulo, é a hipotenusa, e os outros dois são chamados catetos, logo no nosso triângulo a hipotenusa é e os catetos são e . Segundo o Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrados dos catetos, logo:

Caímos assim em uma equação do 2º grau, onde:

Aplicando a Fórmula de Bhaskara:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\dfrac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\times1\times(-48)}}{2\times1}$

$x=\dfrac{8\pm\sqrt{64+192}}{2}$

$x=\dfrac{8\pm\sqrt{256}}{2}$

$x=\dfrac{8\pm\16}{2}$

$x=4\pm8$

Obtemos dois valores para . Se , os lados serão:

$x\Rightarrow-4$
$x+4\Rightarrow-4+4=0$
$x+8\Rightarrow-4+8=4$

Nesse caso, temos um lado negativo e um igual a zero, o que é um absurdo, logo devemos ter , de modo que os lados são:

$x\Rightarrow12$
$x+4\Rightarrow12+4=16$
$x+8\Rightarrow12+8=20$

Somando os três lados, obtemos

Resposta: a)48.