[INTEGRAL DEFINIDA] Integração por partes?

por **fabriel** » Seg Mai 06, 2013 01:26

E ai Pessoal, cheguei em uma expressão meio complicada de se resolver.
Não sei se esta correto isso mas, vamos lá:
É dado o exercicio:
Ache a área da superfice gerada pela revolução da curva em torno da eixo-y.
$x={e}^{t}sent$ e $y={e}^{t}cost$ , $0\leq t \leq \frac{\pi}{2}$
Resolvendo:

á area será dada por (Aqui eu não detalhei os calculos que eu fiz, apenas resumi para ver se esta certo, se tem como resolver a integral que eu cheguei)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi{e}^{t}sen(t)\sqrt[]{2{e}^{2t}}dt=2\pi\sqrt[]{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e}^{2t}sen(t)dt$

e ai que esta o problema, como que resolvo isso $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e}^{2t}sen(t)dt$ ??????

já tentei por partes mas não consegui chegar em nada.

obrigado pela ajuda!!

por **e8group** » Seg Mai 06, 2013 02:40

Tome $L = \int e^{2t} sin(t) dt$ .Esta integral pode ser resolvida aplicando duas vezes a técnica de integração por partes . Integrar tal expressão torna-se achar a solução da equação para

(Verifique ! ) . Tente concluir .

por **fabriel** » Seg Mai 06, 2013 14:05

Eu já tentei fazer desse jeito , mas não consegui. Veja
Temos que resolver essa Integral $L = \int e^{2t} sin(t) dt$
Então chamando $u={e}^{2t}$ e dv=sen(t) dt

, logo $du={2e}^{2t}dt$ e v=-cos(t)

Então fazendo a integração por partes

$\int e^{2t} sin(t) dt$ = $-{e}^{2t}cos(t)-\int_{}^{}-cos(t)2{e}^{2t}dt = -{e}^{2t}cos(t)+2\int_{}^{}cos(t){e}^{2t}dt$

Agora temos outro problema, essa integral:

$\int_{}^{}{e}^{2t}cos(t)dt$

Mesmo se eu fizer agora de novo, não ira resolver muita coisa.

chegarei na seguinte expressão: ${e}^{2t}sen(t)-\int_{}^{}{2e}^{2t}cos(t)dt = {e}^{2t}sen(t)-2\int_{}^{}{e}^{2t}cos(t)dt$ e mesmo substiuindo isso la na ultima integral que é multiplicada por 2, não resolverá muita coisa...

E isso não irá resolver nada..

Então você chegou num resultado??

por **e8group** » Seg Mai 06, 2013 20:56

Considere :

$\begin{cases} g'(t) = e^{2t} \\ f(t) = sin(t) \\ h(t) = cos(t) \end{cases}$ .

Por integração por partes ,segue-se que :

$L = \int e^{2t}sin(t) dt = \int g'(t)f(t) dt = \int ((g\cdot f)'(t) - (f'\cdot g )(t)) dt = (g\cdot f)(t) - \int f'(t)g(t) dt$ .

Lembrando que $g'(t) = e^{2t}$ e

; obtemos $g(t) = \frac{e^{2t}}{2} = \frac{g'(t)}{2}$ e f'(t) = cos(t) = h(t)

.Assim , o integrando f'(t)g(t)

pode ser reescrito como $\frac{g'(t)}{2} \cdot h(t)$ .Daí ,

$\int f'(t)g(t) dt = \frac{1}{2} \int g'(t) h(t) dt$ .

E novamente por int. por partes ,temos :

$\int g'(t) h(t) dt = (g\cdot h)(t) - \int g(t) h'(t) dt = (g\cdot h)(t) + \int g(t)f(t) dt = (g\cdot h)(t) + \int \frac{g'(t)}{2}f(t) dt = (g\cdot h)(t) + \frac{1}{2} \int g'(t) f(t) = (g\cdot h)(t) + \frac{L}{2}$ .

Logo , $\int f'(t)g(t) dt = \frac{1}{2} \left((g\cdot h)(t) + \frac{L}{2} \right)$ . E portanto ,

$L = (g\cdot f)(t) - \frac{1}{2} \left((g\cdot h)(t) + \frac{L}{2} \right)$ .

Resolvendo e equação para

, resulta :

$L = \frac{1}{5}(4 (g\cdot f)(t) - 2(g\cdot h)(t)) = \frac{1}{5}(2e^{2t}sin(t) - e^{2t}cos(t)) = \frac{e^{2t}}{5}(2sin(t) - cos(t) )$ .

$\boxed{\therefore \int e^{2t}sin(t) dt = \frac{e^{2t}}{5}(2sin(t) - cos(t) ) + C }$ .

Só para confirmar a resposta :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... %28t%29+dt

Agora tente concluir .

por **fabriel** » Ter Mai 07, 2013 03:05

Que beleza heim, Obrigado ai.
Hoje de noite eu estava na universidade e acabei resolvendo ela tbm!!
Só não entendi a resposta que você me passo? Parece que lá a resposta foi multiplicada por -1...

por **e8group** » Ter Mai 07, 2013 21:12

fabriel escreveu:Que beleza heim, Obrigado ai.
Hoje de noite eu estava na universidade e acabei resolvendo ela tbm!!
Só não entendi a resposta que você me passo? Parece que lá a resposta foi multiplicada por -1...

De nada . Deixando

em evidência segue o resultado fornecido pelo Wolframalpha .As resposta são equivalentes .