Encontrar Solução Geral de um Sis. Linear

[Jhonata]

Estou com o seguinte problema em mãos, aparentemente bem simples:

Assinale a solução geral do sistema linear representado pela matriz aumentada

a)
b)
c)
d)

A alternativa b e c são falsas; na matriz, nitidamente tenho apenas uma linha nula, o que vai nos dar uma variável independente e teremos como conjunto solução uma reta(que no ponto de vista geral, o sistema terá infinitas soluções). Cara, eu terminei de escalonar(pra matriz totalmente escalonada) a matriz e parametrizei as equações lineares:

~



Fazendo z = t (o parâmetro, ou seja, a variável livre.):



Dai o conjunto solução seria a reta:{}

Que não bate com nenhuma das alternativas do gabarito que é a alternativa a.
Mas vemos algo em comum na minha resposta com relação ao gabarito.
1)o vetor do espaço gerado é metade do que aparece no gabarito;
2) o vetor (-2,1,0) aparece no gabarito.

No que posso ter errado? Me corrijam, por favor. Qualquer ajuda é bem vinda. Grato desde já.

[e8group]

Sua solução está correta . No entanto ,qualquer vetor não nulo paralelo ao vetor diretor também é vetor diretor da reta . Assim , o vetor é diretor da reta .Onde : .
Além disso , note que : .

Daí ,

. Isto mostra que seus cálculos estão corretos .

[Jhonata]

Excelente explicação, mas ainda permaneceram duas dúvidas:

Como encontrar o vetor diretor?
E como eu saberia/notaria que deveria encontrá-lo pra utilizar no problema em questão?

Ah, muito obrigado mesmo pela ajuda!

[e8group]

Como encontrar o vetor diretor?

Se uma reta passa pelos pontos e qualquer vetor que é múltiplo escalar de será paralelo a , ou seja , qualquer vetor que é múltiplo escalar de será vetor diretor desta reta .(*) A escolha deste vetor irá influenciar no parâmetro ,por exemplo ,enquanto tomando-se obtemos que o ponto pertence a reta ,por outro lado ,tomando-se obterá .

E como eu saberia/notaria que deveria encontrá-lo pra utilizar no problema em questão?

Está pergunta não sei responder ,geralmente quando a questão é múltipla escolha podemos verificar se a solução é equivalente a uma das alternativas . Neste caso , é fácil ver que o vetor é múltiplo escalar de ,pelo argumento (*) ,podemos ver que a mudança de variável nos levará a resposta que está no formato do item (a) .