[Função] Dúvida

por **Lana** » Seg Abr 29, 2013 15:58

(CEFET-MG)Segundo semestre graduação:
A função $f(x)= \frac{sen(x-\frac{\pi}{2})}{1+2sen(x)}$ definida num subconjunto de $\left[0,2\pi \right]$ .É não negativa para todo

no intervalo:

Gabarito: $\left[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6} \right[ \cup \left[\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6} \right[$ .
Bom , eu fiz a questão e consegui desenvolver apenas o numerador,mas o denonimador {1+2sen(x)}

não consegui desenvolver.
Será que existe alguma relação trigonométrica que eu estou esquecendo ?
Obrigado pela atenção.

por **e8group** » Seg Abr 29, 2013 16:22

Bom , podemos ter f(x) = 0

e

. No primeiro caso ,basta que o numerador se anule .Só p/ efeito de simplificação $sin(x-\pi/2) = sin(x)cos(\pi/2) - sin(\pi/2)cos(x) = - cos(x)$ . Os pontos pertence ao intervalo [0,2\pi] em que cos(x) = 0

são $\pi/2$ e $\frac{3\pi}{2}$ . No segundo caso , f(x) > 0

quando o numerador e denominador possuírem o mesmo sinal . Assim ,

$f(x) > 0 \iff (-cos(x) > 0 \text{e} 1+2sin(x) > 0 ) \text{ou} (-cos(x) < 0 text{e} 1+2sin(x) < 0 )$ .

Tente resolver e comente as dúvidas ...

por **Lana** » Seg Abr 29, 2013 16:33

Bom, intendi perfeitamente a primeira parte , quando o numerador for igral a zero. Já na segunda parte nao intendi porque o numerador e o denominador devem tser maiores ou menores que zero.

por **e8group** » Seg Abr 29, 2013 16:39

Pq a razão entre dois números positivos e negativos é sempre positivo . Exemplificando , 2/5

é um número positivo assim como (-2)/(-5)

. Devemos encontrar valores em $[0,2\pi]$ que satisfazem $(-cos(x) > 0 \text{e} 1 +2sin(x) > 0 ) \text{ou} (-cos(x) < 0 \text{e} 1 +2sin(x) < 0)$ .Pense sobre isto . Comente as dúvidas .

por **Lana** » Seg Abr 29, 2013 17:07

Bom fiz o seguinte -cos(x)>0

. o resultado seria que x e positivo no 1 e o 4 quadrante
para 1+2sin(x)>0

o resultado deu sin(x)>-1/2

.

por **e8group** » Seg Abr 29, 2013 18:21

Devemos encontrar valores em $[0,2\pi]$ que satisfaçam ao mesmo tempo as inequações que já foi mencionada .Vamos separar em dois casos .

Caso 1 : $(- cos(x) > 0 \text{e} 1+2sin(x) > 0 )$

Caso 2 : $(- cos(x) < 0 \text{e} 1+2sin(x) < 0 )$

Em ambos casos a solução é a interseção entre os dois conjuntos ,se em um estágio obtemos que o conjunto

é solução da inequação - cos(x) > 0

e

solução de 1+2sin(x) > 0

então a solução deste caso é a interseção entre os conjuntos .

Solução :

Caso 1:

Como vc já adiantou , sin(x) > -1/2

.P/ ficar mais claro ,faça um desenho do circulo trigonométrico em seu caderno e veja geometricamente que há dois valores em $[0,\2pi]$ tal que sin(x) = -1/2

,um deles no 3° quadrante e o outro no 4° .Uma vez que encontramos estes valores é fácil obter o conjunto

solução de 1+2sin(x) > 0

.Para encontrar estes valores ,veja que :

$- sin(30^{\circ}) = sin(- 30^{\circ}) = - sin(\frac{\pi}{6}) = sin( - \frac{\pi}{6}) = - \frac{1}{2}$ .

Usando que $-sin(x) = sin(x +\pi)$ e que $sin(x) = sin(x \pm 2\pi)$ ,obtemos que

$-sin(\frac{\pi}{6}) = sin(\pi/6 +\pi) =sin(7\pi/6) = -1/2$ (3° quadrante)

$- sin(x) =- sin(\pi/6 -2\pi) = sin(11\pi/6) = -1/2$ (4° quadrante)

Assim , $B =[0,\frac{7\pi}{6}) \cup(\frac{11\pi}{6},2\pi]$ é o conjunto solução da desigualdade 1+2sin(x) > 0

.

Já em relação a outra desigualdade ,

$-cos(x) > 0 \iff cos(x) < 0$ .

Daí ,

$A = \left(\frac{\pi}{2} ,\frac{3\pi}{2}\right)$ .

Portanto $A \cap B = \left(\frac{\pi}{2} ,\frac{3\pi}{2}\right)\cap [0,\frac{7\pi}{6}) \cup(\frac{11\pi}{6},2\pi] = \left(\frac{\pi}{2} , \frac{7\pi}{6} \right )$ . Assim ,qualquer valor que tomarmos neste intervalo ambas desigualdade serão satisfeitas (Verifique !!)

Agora tente concluir o caso 2 e comente as dúvidas .

por **Lana** » Qui Mai 02, 2013 16:55

cheguei a essas conclusões:
cos(x)<0 e 1+2sin(x)<0

$-cos(x)<0\Rightarrow cos(x)>0\Rightarrow cos(x)>0 \Rightarrow\left[0 \right\frac{\pi}{2}[\cup \left]\frac {3\pi}{2}, \right 2\pi]$ .

$sin(x)>-\frac{-1}{2}\Rightarrow[0,\frac{7\pi}{6}[ \cup]\frac{11\pi}{6},2\pi]$

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 17:31

O conjunto solução da desigualdade cos(x) > 0

,você acertou .Entretanto,a desigualdade 1 +2sin(x) < 0

implica

(e não implica sin(x) > -1/2

conforme vc escreveu) . Assim , $\left(\frac{7\pi}{6} , \frac{11\pi}{6}\right)$ é o conjunto solução desta desigualdade .Porém , devemos tomar a interseção entre estes dois conjuntos para que ambas inequações sejam satisfeitas . Como $\left(\frac{7\pi}{6} , \frac{11\pi}{6}\right) \cap \left[0, \frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right] = \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}\right)$ ,concluímos que $\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}\right)$ é o conjunto solução de f(x) > 0

, assim como $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}\right)$ é o conjunto solução de f(x) > 0

.Logo, a reunião destes conjuntos é o conj. solução de f(x) > 0

.

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 17:32

Obs.:
Deveremos também considerar os pontos em que f(x) = 0

uma vez que $f(x) \geq 0$ .

por **Lana** » Qui Mai 02, 2013 17:48

Perfeitamente , no caso da segunda equação eu cometi um equivoco na hora de fazer aqui mais estou de acordo.
Agora temos o resultadodo para $f(x)=0\Rightarrow -cos(x)=0\Rightarrow\frac{\pi}{2}e\frac{3\pi}{2}e 1+2sin(x)\Rightarrow\frac{7\pi}{6}e\frac{11\pi}{6}$

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 18:05

Sim , está correto , a função se anula quando o numerador se anula que ocorre quando $x = \frac{\pi}{2}$ e $x = \frac{3\pi}{2}$

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