(AIME - 90)

por **chronoss** » Ter Abr 23, 2013 14:44

Calcule $ax^{5}\:\,+\:\,by^{5}$ se os números reais a , b , x e y satisfazem as equações : $ax\: \, +\, \: by\, =\, 3\: \, ;\: \: ax^{2}\: \, +\, \: by^{2}\,=\, 7\: \: ;\: \: ax^{3}\: \, +\, \: by^{3}\,= \, 16\: \: ;\: ax^{4}\: \, +\, \: by^{4}\,= \,42$

Resposta : $ax^{5}\:\,+\:\,by^{5}\:=\:20$

Obs: Não consegui enxergar nenhuma maneira de resolver.

por **young_jedi** » Qua Abr 24, 2013 15:25

pensei no seguinte

multipliquei a segunda equação por x+y

(x+y)(ax^2+by^2)=(x+y)7

agora multipliquei a terceira equação por (x+y)

(x+y)(ax^3+by^3)=(x+y)16

agora temos duas equações

16+xy3=7(x+y)

multiplicando a de cima por 16 e a debaixo por 7 teresmos

256+48.xy=16.7(x+y)

temos que as duas equações são equivalentes portanto

256+48.xy=294+49.xy

$y=\frac{-38}{x}$

substituindo y na equação 16+xy3=7(x+y)

teremos

$16-3x\frac{38}{x}=7(x-\frac{38}{x})$

$-98=7(x-\frac{38}{x})$

$x-\frac{38}{x}+14=0$

então

x^2+14x-38=0

resolvendo por baskara cheguei em

$x=-7\pm\sqrt{87}$

assumindo a raiz $x=-7+\sqrt{87}$ e substituindo na relação $y=\frac{-38}{x}$

cheguei que $y=-7-\sqrt{87}$

agora retornando as equações iniciais do problema multipliquei a ultima delas por (x+y)

(x+y)(ax^4+by^4)=42(x+y)

substituindo os valores de x e y encontrados nos termos que não estao elevado a quinta

$ax^5+by^5+16(-7+\sqrt{87})(-7-\sqrt{87})=42(-7+\sqrt{87}-7-\sqrt{87})$

ax^5+by^5+16(49-87)=42.(-14)

por **chronoss** » Qua Abr 24, 2013 15:58

Obrigado Young_jedi ,e bela resolução ajudou-me bastante.

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