Propriedades Operatórias do Limite

[J0elKim]

Oi! Minha dúvida é: quando não posso usar as propriedades operatórias?
Exemplo de um caso em que os resultados (usando e não usando as propriedades) não bateram:


Calcule:

Minha resposta usando diretamente as propriedades: (como lim x->0 de x+tgx é diferente de zero) o limite é igual à 0-1/0+1 = -1
Usando a propriedade só depois de abrir as tangentes e simplificar todos os termos por x, o resultado foi 0 (resultado correto pelo gabarito)

Alguem poderia esclarecer a dúvida e me explicar essas situações?

Obrigado

[e8group]

Neste caso não podemos aplicar uma das regras operatórias de limites ,regra esta do quociente .Pois ,pela propriedade "limite da soma é a soma dos limites ", concluímos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando se aproxima de zero . Logo ,este limite apresenta uma forma indeterminada "0/0" . Devemos manipular a expressão com objetivo de eliminar esta indeterminação .Antes de prosseguir com a solução ,gostaria de ressaltar que .(Dica : Observe que ;assim ,quando e e portanto segue o resultado do limite) .
Visto o resultado do limite acima é fácil ver que o "artifício" que vamos usar p/ sairmos da indeterminação será dividir e por ,desta forma não vamos alterar o resultado e esta operação é valida uma vez que .Segue então ,

.Agora tente concluir .

[J0elKim]

Conclusão... zero =D!

Obrigado por me ajudar achar o erro hahaha