[Fatoração] Prove

por **chronoss** » Sáb Abr 20, 2013 13:10

Dado que a³ + b³ + c³ = (a + b + c)³, prove que para todo numero natura n:

${a}^{2n + 1}\:\,+\,\:{b}^{2n + 1}\,\:+\,\:{c}^{2n + 1}\:= \:(a \:+\:b\:+\:c)^{2n + 1}$

A unica ideia que me vem a cabeça é que os números são simétricos ,mas não sei como provar.

por **e8group** » Sáb Abr 20, 2013 14:03

Já tentou provar pelo Principio da Indução Finita ???

por **chronoss** » Sáb Abr 20, 2013 14:16

Ainda não estudei o assunto.

por **young_jedi** » Sáb Abr 20, 2013 19:42

desenvolvendo

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc

mais como

3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc=0

para que a expressão seja igual a 0 uma das três relações tem que ser satisfeitas

a=-c

ou

b=-c

ou

a=-b

portanto os números abc e são do tipo

(x,y,-y)

tente concluir, comente as duvidas

por **chronoss** » Sáb Abr 20, 2013 22:30

A conclusão seria que como : a³ + b³ + c³ = ( a + b + c)³ => a = - b ou a = - c ou b= - c ,

implicando que : ${(a\:+\:b\:+\:c)}^{2n + 1} \:\:=\:(a\:-\:a\:+\:c)}^{2n + 1}\:=\:{c}^{2n +1}$ ,

e que ${a}^{2n + 1}\:+\:{-a}^{2n+1}\:+\:{c}^{2n+1}\:=\:{c}^{2n+1}$

Logo ${(a\:+\:b\:+\:c)}^{2n + 1} \:=\:{a}^{2n+1}\:+\:{b}^{2n+1}\:+\:{c}^{2n+1}$ .

Seria mais ou menos nesse estilo?

por **young_jedi** » Sáb Abr 20, 2013 22:49

Exatamente, é essa linha de pensamento mesmo

por **chronoss** » Sáb Abr 20, 2013 23:11

Legal, é a primeira vez que estou lidando com questões que pedem para provar , estou achando meio chato pois conheço poucos atalhos e não sou dos mais pacientes, mas que bom que pelo menos alguma coisa da essência estou entendendo.