Inequação Exponencial- dúvida

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Inequação Exponencial- dúvida

Mensagempor laura_biscaro » Ter Abr 16, 2013 23:52

Seja S o conjunto solução da inequação {\frac{5}{3}}^{-x+2} > {\frac{3}{5}}^{1-2x}. Então:
a) S=R
b) S={x\epsilonR/x<1}
c) S={x\epsilonR/x>1}
d) S={x\epsilonR/x<-1}
e) S={x\epsilonR/x>-1}
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Re: Inequação Exponencial- dúvida

Mensagempor e8group » Qua Abr 17, 2013 02:15

Vamos introduzir um exemplo numérico semelhante ao exercício postado .

Imagine que temos a seguinte desigualdade 2^x > (\frac{1}{2})^y = 2^{-y} (a) .

Veja que 2 = \frac{1}{\dfrac{1}{2}} = \frac{1}{2^{-1}} = (\frac{1}{2})^{-1} .

e \frac{1}{2} = 2^{-1} .

Pergunta : Dado um y real qualquer ,qual o conjunto solução para x da desigualdade 2^x > (\frac{1}{2})^y = 2^{-y} ?

Possível justificativa para a pergunta :

Como 2 > 1 , do ponto de vista de funções ,considerando f(x) = 2^x temos que f é estritamente crescente (\forall x_1,x_2 \in D_f se x_1 > x_2 \implies f(x_1) > f(x_2) ) . Assim , dado um y real , \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -y \} é o conjunto solução da desigualdade .Significa que qualquer x que tomarmos no intervalo acima , satisfará a desigualdade (a) .

Suponha que y = 4 .Qualquer x em (-4,+\infty) satisfaz 2^x > 2^{-4} = \frac{1}{16} ,não é verdade ?

Agora o que acontece se ao invés de 1,2,x e y temos ,respectivamente , 3,5,-x+2 e 1 -2x ?

Dica para o exercício :

\frac{3}{5} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-1} (por quê ??) e 5/3 > 1 .Então ...

Tente concluir ,se não conseguir post suas dúvidas .
e8group
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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