Relação entre funções com derivadas iguais

[matmatco]

Tentei substituir na soma esses dados mas é errado eu fazer isso, não estou sabendo como resolver

Sejam f(t),g(t) h(t) funções deriváveis em R e tais que para todo t,

f '(t)=g(t)
g'(t)= -f(t) - h(t)
h'(t)=g(t)
suponha que f(0)=g(0)=h(0)=1. prove que para todo t, [f(t)]²+[g(t)]²+h[(t)]²=3

[young_jedi]

derivando a segunda equação nos temos



substittuindo as outras duas equações nos temos





este é uma equação diferencial de segunda ordem resolvendo ela se encontra g(t) e depois h(t) e f(t)
comente qualquer coisa

[matmatco]

ok, mas para encontrar o g(t) vou ter que jogar valores para g(t)? é isso? e depois derivar para encontrar o g"(t)?

[young_jedi]

esta equação diferencial de segunda ordem tem como resposta algo do tipo



ao substituindo isto na equação diferencial, voce vai determinar o valor de w, e depois com g(0)=1 voce determina os valores de A e B e as funções h(t) e f(t)

[matmatco]

estou com dificuldade em colocar os calculos então vou deixar os valores que encontrei depois com mais calma e se eu conseguir coloco a resolução.
resolvendo encontrei w= , usando g(0) achei A= 0 e B=1.Com isso encontro g(t)=1.
Depois usando a equação g`(t)= -f(t)-h(t) e usando g'(t)=Asen(wt)w-Bcos(wt)w que é a derivada da equação que você disse, acho
g'(t)=0.
com isso substituindo na equação g'(t)= -f(t)-h(t)
f(t)=1 e assim encontro que h(t) = 1 portanto f(t)²+g(t)²+h(t)²= 1²+1²+1²= 3.

meus calculos estão certos?

[young_jedi]

realmente estea certo

mais substitutindo na equação g(0)=1 voce tem





sendo assim voce consguiu determinar somente o B e não o A

agora utilizando a relação f'(t)=g(t) temos





e como h'(t)=g(t)



como f(0)=h(0)=1 temos









como

então





então temos que k+C=0

mais das relações anteriores tinhamos que




e









e dai tirmaos que C=K=0

portanto as tres equações serão







elevando cada uma destas funções ao quadrado e somando o resultado sera 3

[matmatco]

entendi, mas não sabia que ia ter que integrar o f ' (t) para achar o valor de A e sobre as constantes eu já não poderia elimina-las sem ter que encontrar seus valores?

[young_jedi]

voce não pode eliminar as constantes direto, neste caso elas eram iguais a zero, mais em outros casos pode ser que não
então voce tem que encontra-las, e a constante A é a mesma coisa voce tem que integrar f'(t) e h'(t) e utilizar a relação
g(0)=g(0)=h(0)=1 para determina-la.

[matmatco]

ok, muito obrigado