Dúvida sobre int sen^4(x)cos^2(x) dx

por **VenomForm** » Ter Abr 02, 2013 13:08

Bom pessoal estou com uma dúvida na seguinte integral:
$\int_{}^{} {sen}^{4}(x) {cos}^{2}(x)dx$

Procurando na internet achei a resolução da integral http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100627145031AA090Wf
porém existe passos que eu não entendi completamente onde por exemplo, logo no começo do desenvolvimento da integral:
$\int_{}^{} {sen}^{4}(x) {cos}^{2}(x)dx$
ficando
$\int_{}^{} {sen}^{2}(x) {[sen(x)cos(x)]}^{2}dx$
até ai tudo bem entendi perfeitamente o que ele fez, mas agora que surge a dúvida ele transforma
${[sen(x)cos(x)]}^{2}$
em
${sen}^{2}(2x)$ que é justamente essa transformação que não entendi. Na integral fica $\frac{1}{4}\int_{}^{}{sen}^{2}(x){sen}^{2}(2x) dx$
alguém poderia me explicar o que ocorre neste passo?

por **e8group** » Ter Abr 02, 2013 14:41

Na verdade $sin(x)cos(x) = \frac{sin(2x)}{2}$ ,pois sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x)

. Daí , $[sin(x)cos(x)]^2 = \left(\frac{sin(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}sin^2(2x)$ .

por **VenomForm** » Qua Abr 03, 2013 11:53

santhiago escreveu:Na verdade $sin(x)cos(x) = \frac{sin(2x)}{2}$ ,pois . Daí , $[sin(x)cos(x)]^2 = \left(\frac{sin(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}sin^2(2x)$ .

Obrigado agora entendi o que aconteceu, mas será que poderia me explicar o resto dos passos? é que eu realmente não entendo as transformações que ele esta fazendo e eu não quero somente copiar a resposta no exercício, gostaria de entende-lo para que no futuro eu saiba fazer sozinho.

por **e8group** » Qui Abr 04, 2013 13:32

Vale destacar as seguintes relações :

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

(1.1) [Identidade trigonométrica fundamental]

cos(2x) = cos(x + x) = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

(1.2)

Combinando a equação (1.1) com a (1.2) e escrevendo cos(2x)

em função de sin(x)

,ao isolarmos sin^2(x)

,temos :

$\frac{1 - cos(2x)}{2} = sin^2(x)$ (1.3)

Como já vimos , $\int sin^4(x)cos^2(x) dx = \frac{1}{4} \int sin^2(x)sin^2(2x) dx$ que por (1.3)

,segue

$\frac{1}{4} \int sin^2(x)sin^2(2x) dx = \frac{1}{4} \int \frac{1 - cos(2x)}{2}sin^2(2x) dx = \frac{1}{8} \int \left(sin^2(2x) - sin^2(2x)cos(2x) \right ) dx$ .

Se fizermos $\theta = 2x$ veremos que por (1.3) $sin^2(\theta) = \frac{1-cos(2\theta)}{2}$ , ou seja , por (1.3) $sin^2(2x) = \frac{1-cos(4x)}{2}$ .

Deste modo ,a integral acima pode ser escrita como ,

$\frac{1}{8} \int \left(\frac{1-cos(4x)}{2} - \frac{1-cos(4x)}{2}cos(2x) \right ) dx$

ou $\frac{1}{8} \int \left(\frac{1}{2}-\frac{cos(4x)}{2} - \frac{cos(2x)}{2}+\frac{cos(4x)cos(2x)}{2} \right ) dx$

ou $\frac{1}{16}\int \left( 1 - cos(4x) - cos(2x) + cos(4x)cos(2x)\right)dx$ .

ou ainda $\frac{1}{16} \cdot \left( \int dx - \int cos(4x) dx - \int cos(2x) dx + \int cos(4x)cos(2x) dx \right)$ .

Todas integrais descritas acima são simples de ser resolvidas ,talvez na útltima que é $\int cos(4x)cos(2x) dx$ terá um pouco a mais de trabalho ,mas ela pode ser resolvida por integral por partes .Tente concluir ,se não conseguir post .

por **VenomForm** » Seg Abr 08, 2013 21:44

Obrigado ajudou muito, agora entendo como foi resolvida essa integral.

por **VenomForm** » Qui Abr 11, 2013 13:09

Bom estou postando o resultado no qual eu cheguei,
$\frac{1}{16} \cdot \left( \int dx - \int cos(4x) dx - \int cos(2x) dx + \int cos(4x)cos(2x) dx \right)=$
$\frac{1}{16}[1-\frac{sin(4x}{4}-\frac{sen(2x)}{2}+\frac{1}{2}\int_{}^{}cos(2x)+cos(6x)]=$
$\frac{1}{16}[1-\frac{sin(4x}{4}-\frac{sen(2x)}{2}+\frac{sin(2x)}{4}+\frac{sin(6x)}{12}]=$
$\frac{1}{16}-\frac{sin(4x)}{64}-\frac{sin(2x)}{32}+\frac{sin(2x)}{64}+\frac{sin(6x)}{192}=$
$\frac{1}{16}-\frac{sin(2x)}{64}-\frac{sin(2x)}{32}+\frac{sin(6x)}{192}+C$
bom se não fiz nenhum passo errado acho que cheguei ao resultado certo, e de novo obrigado

santhiago

aproveitando que estou aqui eu posso fazer isso:
$\frac{1}{16}\int_{}^{}{sin}^{2}(2x)-\frac{1}{4}(1-cos(4x))= \frac{1}{16}\int_{}^{}{sin}^{2}(2x)-\frac{1}{64}\int_{}^{}(1-cos(4x))$
?

por **e8group** » Qui Abr 11, 2013 13:38

OK ,não há de que . Parece está certo sim , estou sem tempo necessário p/ verificar a resolução ,mais tarde eu volto p/ verificar . De qualquer forma ,só para verificar a resposta vamos recorrer ao site wolframalpha .Digite lá :

" integrate (1 - cos(4x) - cos(2x) + cos(4x)cos(2x) )dx " (acho que é assim que se escreve ) , veja o resultado :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... x%29+%29dx

Divida todas parcelas por 16 .E compare o seu resultado com o do wolframaplha ...

por **e8group** » Qui Abr 11, 2013 17:41

Observei que há alguns erros em relação a sua solução ,alguns destes "erros" acredito que realmente seja "descuido" ao digitar .

Considere :

(i) $\int dx$

(ii) $\int cos(4x) dx$

(iii) $\int cos(2x)dx$ .

(iv) $\int cos(2x)cos(4x) dx$ .

No item (ii) e (iii) sua resolução está correta (por isso não vou comentar sobre eles) ,já em relação ao item (i) acredito que houve um "descuido" ao digitar o resultado da integral .Veja : $\int dx = \int x^0 dx = x^{0+1}/({0+1}) + c = x + c$ e não

.No item (iv) a resolução também está correta .Você utilizou a identidade $cos(x_1)cos(x_2) = \frac{1}{2}(cos(x_1 - x_2) + cos(x_1 + x_2) )$ .

OBS_1 .: Recomendo que verfique atentamente tudo o que digitou e observe que há alguns erros em especial terceira , quarta etapa da solução .

Só acrescentando ,você perguntou se $(*) \frac{1}{16} \int sin^2(2x) - \frac{1}{4}(1-cos(4x)) = \frac{1}{16} \int sin^2(2x) - \frac{1}{64}\int (1-cos(4x))$ .Resposta : Da forma que $(*) \frac{1}{16} \int sin^2(2x) - \frac{1}{4}(1-cos(4x))$ está escrito torna falso $(*) \frac{1}{16} \int sin^2(2x) - \frac{1}{4}(1-cos(4x)) = \frac{1}{16} \int sin^2(2x) - \frac{1}{64}\int (1-cos(4x))$ .Mas se na verdade , a expressão digitada for $(**) \frac{1}{16}\int \left( sin^2(2x) - \frac{1}{4}(1-cos(4x))\right)dx$ é verdadeiro $(**) \frac{1}{16}\int \left( sin^2(2x) - \frac{1}{4}(1-cos(4x))\right)dx = \frac{1}{16} \int sin^2(2x)dx - \frac{1}{64}\int (1-cos(4x)) dx$ .

OBS_2 .: Sempre o "dx" acompanha o integrando .Assim , $\int (...) dx$ é o certo e não $\int (...)$ .

Legenda :

(*)

Além do problema de omitir o parênteses ()[que é importante para deixar claro que 1/16

está multiplicando todas parcelas que estão dentro do parênteses] ,a expressão digitada apresenta o erro mencionado na OBS_2

(**)

Expressão digitada corrigida .

por **VenomForm** » Sex Abr 12, 2013 15:32

Bom era isso mesmo eu somente esqueci dos parênteses da integral:
$\frac{1}{16}\int \left( sin^2(2x) - \frac{1}{4}(1-cos(4x))\right)dx$
que você confirmou ser igual a,
$\frac{1}{16} \int sin^2(2x)dx - \frac{1}{64}\int (1-cos(4x)) dx$
obrigado e acho que tópico encerrado.