Geometria no espaço- coordenadas de ponto

por **emsbp** » Sáb Abr 06, 2013 16:34

Boa tarde. É dado a equação do plano $\alpha: x-3y-2z+4=0$ e o ponto P(-1;2;1). O exercício pede que determinemos as coordenadas do ponto T, pertencente ao plano $\alpha$ , e que está mais próximo do ponto P.
Sei que a distância mais próxima do ponto P terá de ser na perpendicular em relação a T. Comecei por pensar em formar o vetor TP, sendo T(x,y,z), mas a partir daí não estou a conseguir resolver.
Peço ajuda.
Obrigado!

por **temujin** » Sáb Abr 06, 2013 17:55

Boa tarde.

Este vetor TP que vc tomou pode sempre ser decomposto em uma soma de 2 vetores: um paralelo ao vetor normal ao plano (que é a projeção ortogonal de TP sobre N) e outro paralelo ao próprio plano. A distância de P ao plano será, então, igual à norma da projeção ortogonal e é dada por:

$\frac{\left | \vec{TP}.N \right |}{\left || N \right ||}$

Acho que com isto vc consegue prosseguir, certo?

por **Russman** » Sáb Abr 06, 2013 18:42

O seu pensamento está correto.

Primeiro, você constrói o vetor $\overrightarrow{TP}$ usando P(-1,2,1)

e

.

$\overrightarrow{TP}=<(x_p - x_T),( y_p - y_T ),(z_p - z_T)> = <(-1-x),(2-y),(1-z)>$ .

Agora, como você disse, esse vetor deve ser perpendicular a qualquer vetor pertencente ao plano. Isto é, o vetor $\overrightarrow{TP}$ tem de ser paralelo ao vetor normal ao plano que é obtido pelos coeficientes da equação do plano.

$\alpha :ax+by+cz+d=0\Rightarrow \overrightarrow{n}=<a,b,c>\Rightarrow \overrightarrow{n}<1,-3,-2>$ .

Ou seja, o produto vetorial $\overrightarrow{TP}\times \overrightarrow{n}$ tem de ser nulo e , consequentemente, o vetor $\overrightarrow{TP}$ é um múltiplo do próprio vetor normal. Mas não qualquer múltiplo. Note que o módulo de $\overrightarrow{TP}$ é exatamente a distância(definida perpendicularmente ao plano) entre o plano e o ponto P. Sabemos que esta é dada por

$d(P,\alpha ) = \frac{\left | ax_p+by_p+cz_p+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

que pode ser calculada uma vez que conhecemos o ponto P. Vou chamar essa distância de

.

Portanto,

$\overrightarrow{TP}=d(P,\alpha )\frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |} = \frac{k}{\sqrt{1^2+(-3)^2+(-2)^2}}<1,-3,-2> = \frac{k}{\sqrt{14}}<1,-3,-2>$

e, assim,

$<(-1-x),(2-y),(1-z)> = \frac{k}{\sqrt{14}}<1,-3,-2>$

de onde

$-1-x = \frac{k}{\sqrt{14}}$
$2-y = -3 \frac{k}{\sqrt{14}}$
$1-z = -2 \frac{k}{\sqrt{14}}$

Agora basta você isolar as coordenadas de T.

(: