[método dos pontos críticos] comportamento de uma função

por **Ge_dutra** » Qua Abr 03, 2013 20:34

Boa noite,

Tenho uma dúvida teórica..Quando calculamos os pontos críticos de uma função, através do teste da 1ª derivada, e encontramos o número zero como um ponto crítico, esse nem sempre é usado para analisar o comportamento de uma função (crescente e decrescente). Gostaria de saber o porque disso ocorrer.

Desde já, obrigada.

por **e8group** » Qua Abr 03, 2013 21:19

Não sei se compreendi a sua dúvida ,mas os pontos críticos são apenas candidatos a serem máximos[mínimos] locais(é o que podemos afirmar neste instante). Uma função

é crescente se $\forall x_1,x_2 \in D_f$ e $x_1 > x_ 2 \implies f(x_1) > f(x_2)$ .Por outro lado

é decrescente se $\forall x_1,x_2 \in D_f$ e $x_1 < x_ 2 \implies f(x_1) > f(x_2)$ .Alternativamente ,

é crescente se $f'(x) \geq 0 \forall x\in \mathbb{R}$ e

é decrescente se $f' < 0 , \forall x\in \mathbb{R}$ .

Exemplo :

f(x) = x^3

que é estritamente crescente pois $f'(x) = 3x^2 \geq 0 \forall x\in \mathbb{R}$ .Neste caso

é ponto crítico da função ,mas 0 não é máximo e nem mínimo da função

,pois $f'(x) = 3x^2 \geq 0 \forall x\in \mathbb{R}$

Em geral , se $c \in D_f$ e f'(c) = 0

e se para algum $x \in (c-\delta ,c + \delta)$ e f'(x)

mudar de sinal ,então o ponto

será máximo[ou mínimo] local .

por **Ge_dutra** » Qua Abr 03, 2013 21:38

Não compreendi, pq o zero não é máximo nem mínimo no seu exemplo?
No estudo do comportamento da função, eu não colocarei todos os pontos críticos que achar, mas sim somente aqueles que assumem papel de máximo ou mínimo da função, é isso?

por **temujin** » Qui Abr 04, 2013 00:58

O zero não é máximo nem mínimo no exemplo, justamente pq a derivada não muda de sinal. O que caracteriza um ponto como um extremo (máx ou min) é a mudança de sinal. Por exemplo, compare duas funções $x^2 \ e \ x^3$ . Ambas tem o zero como ponto crítico, certo?

Mas se vc olhar pra derivada, no caso da f(X)= x^2, f'(x)= 2x

. Então, para valores negativos de x, f'(x) é negativa. Para valores positivos de x, f'I(x) é positiva. Ou seja, a função vem decrescendo pela esquerda, vira no zero e passa a crescer para valores à direita.

Agora veja o caso da f(x)=x^3, f'(x)=3x^2

. Para valores negativos, f'(x) é positiva. No zero, ela é zero mesmo. E para valores positivos ela tb é positiva. Não há mudança de sinal.

Ser ponto crítico é condição necessária, mas não suficiente, para ser um extremo.