(UEPG) - socorro

por **Jhennyfer** » Seg Abr 01, 2013 00:10

No desenvolvimento do binômio (ax+by)^5, os coeficientes dos monômios x^2y^3 e xy^4 são, respectivamente, iguais a 720 e 240. A respeito do desenvolvimento desse binômio segundo potências descrescentes de x, sendo "a" e "b" números reais, assinale o que for correto:

(01) a+b=05
(02) "a" é um número ímpar.
(04) O ultimo termo do desenvolvimento é 32y^5
(08) O segundo termo do desenvolvimento é 810x^4.y
(16) O primeiro termo do desenvolvimento é 243x^5

por **Russman** » Seg Abr 01, 2013 01:37

Lembre-se que

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$ .

Esta é a forma comparta de expressarmos o desenvolvimento polinomial.

No seu caso temos (ax+by)^5

, de forma que temos de substituir na fórmula acima o

por

, o

por

e tomar

. Assim,

$(ax+by)^5 = \sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(ax)^{5-k}(by)^k$ .

Agora observe que para gerar o termo x^2y^3

temos de ter k=3

, pois o expoente de

na fórmula é 5-k

que tem de ser

ao tempo de que o expoente de

é simplesmente

que é

. Assim, para k=3, temos que o coeficiente de x^2y^3

é

$c_k=c_3 = \binom{5}{3}a^2.b^3 = 10a^2b^3$

que pelo enunciado deve ser 10a^2b^3 = 720

.

Para o coeficiente de xy^4

basta tomar o mesmo raciocínio. Encontramos k=4

. Assim,

$c_4 = \binom{5}{4}a.b^4 = 5ab^4$ ,

que deve ser 5ab^4 = 240

. Portanto, temos duas relações para

e

:

$\left\{\begin{matrix} 10a^2b^3 = 720\\ 5ab^4 = 240 \end{matrix}\right.$

que podemos simplificar para

$\left\{\begin{matrix} a^2b^3 = 72\\ ab^4 = 48 \end{matrix}\right.$ .

Você pode encontrar os valores de

e

de diversas maneiras. Eu sugiro a seguinte: isole o

na 2° equação e substitua na 1°.

$\left\{\begin{matrix} a^2b^3 = 72\\ a= \frac{48}{b^4} \end{matrix}\right.\Rightarrow a^2b^3=72\Rightarrow \left ( \frac{48}{b^4} \right )^2b^3=72$

de modo que

$\left ( \frac{48}{b^4} \right )^2b^3=72 \Rightarrow b^5 = 32 \Rightarrow b=2$

e portanto,

$a = \frac{48}{2^4} = \frac{48}{16} = 3$ .

Agora você já tem os valores de a e b para fazer o desenvolvimento do polinômio e julgar as afirmativas.

por **Jhennyfer** » Seg Abr 01, 2013 02:13

Não acredito q me confundi numa coisa tão boba! Muito obrigado, ficou tudo muito claro

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