[Integral Indefinida] Método por Partes

por **Matheus Lacombe O** » Sex Mar 29, 2013 18:12

Olá pessoal. Vou tentar ser o mais breve possível, dessa vez. O negócio é o seguinte:

-tentei resolver a questão: $\int_{}^{}ln(3x-2)dx$

-Consegui, usando substituição para chamar "3x-2" de W. E somente depois aplicar a fórmula da integral por partes. Porque para mim assim fica mais fácil de entender.
- Até aí, tudo bem. O problema foi quando eu tentei resolver o exercício semelhante:

Dúvida: $\int_{}^{}ln({x}^{2}+4)dx$

- Aqui, se eu chamo ${x}^{2}+4$ de K, por exemplo, para poder usar a substituição. Desse jeito eu chamo "u" de " ln(k)

" e "dv" de " ${\left(k-4\right)}^{-\frac{1}{2}}dk$ " Mas não dá certo!

- Eu sempre chego em algo parecido com:

$\frac{1}{2}.\left(ln(k).arcsen\left(\frac{2}{\sqrt[]{k}}\right)-\int_{}^{}arcsen\left(\frac{2}{\sqrt[]{k}}\right)dk \right)$

E, se é equivalente, eu não faço a menor idéia de como chegar na resposta do gabarito:

$x.ln({x}^{2}+4)-2x+4arctg\left(\frac{x}{2}\right)+C$

POR FAVOR GALERA. TEM COMO RESOLVE-LO USANDO SUBSTITUIÇÃO?

Att. Matheus L. Oliveira

por **young_jedi** » Sex Mar 29, 2013 18:25

primeiro faça por partes

u=ln(x^2+4)

$du=\frac{2x}{x^2+4}dx$

dv=dx

$=x.ln(x^2+4)-\int\frac{2x^2}{x^2+4}dx$

$=x.ln(x^2+4)-2\int\frac{x^2+4-4}{x^2+4}dx$

$=x.ln(x^2+4)-2\int \left(\frac{x^2+4}{x^2+4}-\frac{4}{x^2+4}\right)dx$

$=x.ln(x^2+4)-2\int\left(1-\frac{4}{x^2+4}\right)dx$

$=x.ln(x^2+4)-2\int dx-2\int\frac{4}{x^2+4}dx$

$=x.ln(x^2+4)-2x+2\int\frac{1}{\frac{x}{2}+1}dx$

acredito que apartir daqui voce sabe como terminar, mais comente qualquer coisa

por **Matheus Lacombe O** » Sáb Mar 30, 2013 15:08

Olha.. Desde já, obrigado pela resposta.

Mas, seguinte: Eu entendi até a penúltima linha. a partir dali eu continuei diferente.

- Como é:

$x.ln({x}^{2}+4)-2\int_{}^{}1-\frac{4}{{x}^{2}+4}dx$

- Não deveria ser:

$x.ln({x}^{2}+4)-2\int_{}^{}1.dx-2\int_{}^{}-\frac{4}{{x}^{2}+4}dx$

$x.ln({x}^{2}+4)-2\int_{}^{}dx-2.-1\int_{}^{}\frac{4}{{x}^{2}+4}dx$

$x.ln({x}^{2}+4)-2\int_{}^{}dx+2\int_{}^{}\frac{4}{{x}^{2}+4}dx$

$x.ln({x}^{2}+4)-2\int_{}^{}dx+2\int_{}^{}\frac{4}{1}.\frac{1}{{x}^{2}+4}dx$

$x.ln({x}^{2}+4)-2\int_{}^{}dx+2.4\int_{}^{}\frac{1}{{x}^{2}+4}dx$

$x.ln({x}^{2}+4)-2\int_{}^{}dx+8\int_{}^{}\frac{1}{{x}^{2}+4}dx$

$x.ln({x}^{2}+4)-2x+8\left(\frac{8}{x}arctan\left(\frac{2}{x}\right)\right)$

Resposta: $x.ln({x}^{2}+4)-2x+\frac{64}{x}arctan\left(\frac{2}{x}\right)+C$

- Resposta que não bate com o gabarito :(

Eu não entendi muito bem a passagem da penúltima para a última linha da sua resposta. Se puder esclarecer.. :-D

EDIT: E outra.. Por acaso, não tem como resolver usando substituição em " ${x}^{2}+4$ " logo "de cara" na questão: $\int_{}^{}ln({x}^{2}+4)dx$

Att. Matheus L. Oliveira

por **young_jedi** » Sáb Mar 30, 2013 15:28

opa tranquilo, primeiro tem um erro na minha ultima linha o x do denominador da integral é ao quadrado.

$x.ln(x^2+4)-2x+2\int\frac{4}{x^2+4}dx=x.ln(x^2+4)-2x+2\int\frac{4}{\frac{4.x^2}{4}+4}dx$

$=x.ln(x^2+4)-2x+2\int\frac{4}{\left4(\frac{x^2}{4}+1\right)}dx$

$=x.ln(x^2+4)-2x+2\int\frac{1}{\left(\frac{x^2}{2^2}+1\right)}dx$

$=x.ln(x^2+4)-2x+2\int\frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}dx$

por **Matheus Lacombe O** » Sáb Mar 30, 2013 16:29

- Tá, beleza. Entendi o raciocínio.

- Porém, eu tentei continuar aqui, e para esta linha, a resposta não deveria ser:

$x.ln({x}^{2}+4)-2x+2\left(\frac{1}{\frac{x}{2}}.arctan\left(\frac{1}{\frac{x}{2}}\right)\right)$

$x.ln({x}^{2}+4)-2x+2\left(\frac{2}{x}.arctan\left(\frac{2}{x}\right)\right)$

Resposta: $x.ln({x}^{2}+4)-2x+\frac{4}{x}.arctan\left(\frac{2}{x}\right)$

- Uma vez que:

$\int_{}^{}\frac{dx}{{a}^{2}+{x}^{2}}=\frac{1}{a}.arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

- Sendo:

${a}^{2}={\left(\frac{x}{2}\right)}^{2}$

$a=\frac{x}{2}$

- e

${x}^{2}=1$

x=1

Foi só isso aí que eu não entendi. Lembrando, o gabarito é:

$x.ln({x}^{2}+4)-2x+4.arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$

por **young_jedi** » Sáb Mar 30, 2013 21:33

aqui eu utilizei o seguinte raciocinio

$\frac{x}{2}=u$

dx=2.du

então

$2.\int\frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}dx=2\int\frac{2}{u^2+1}.du$

$=4\int\frac{du}{u^2+1}=4.arctan(u)$

$4.arctan\left(\frac{x}{2}\right)$