[limite polinomial] Problema com fatoração

por **ZANGARO** » Qui Mar 28, 2013 18:53

Oi tudo bem?

Não estou conseguindo nem a pau resolver esse limite... Eu fatorei a expressão de cima, mas a de baixo não consegui fatorar de jeito nenhum...
Como devo proceder?

$lim_{\ x\to5} \frac{x^3-125}{x^5-3125}$

por **e8group** » Qui Mar 28, 2013 20:52

Veja

e

.

Assim ,

x^3 - 125 = x^3 -5^3

e

.

Em geral para qualquer

natural $x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)})$ .

Fazendo a = 5

.

(a) $x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)}) = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)$

(b) $x^3 - 3125 = (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0)$ .

Tente concluir a parti daí .

por **ZANGARO** » Qui Mar 28, 2013 23:04

santhiago escreveu:Veja e .

Assim ,

e .

Em geral para qualquer natural $x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)})$ .

Fazendo .

(a) $x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)}) = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)$

(b) $x^3 - 3125 = (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0)$ .

Tente concluir a parti daí .

Obrigado, consegui resolver.
Isso funcionaria também para
(1 + X )^4

?

por **e8group** » Sex Mar 29, 2013 00:25

No caso

não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é (x+1)^4

que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo , (x+1)^4

corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton ) 1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4

que não é da forma x^n - a^n

. Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir x^n - a^n

por

e analisar o comportamento verá a forma fatorada de x^n - a^n

a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .

por **ZANGARO** » Sex Mar 29, 2013 01:10

santhiago escreveu:No caso não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo , corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton ) que não é da forma . Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir por e analisar o comportamento verá a forma fatorada de a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .

A sim, entendi direito, muito obrigado pela ajuda. Estou tendo muitas dificuldades com limite polinomial.
Abraço!