Dica de resolução de integral

por **Amorais** » Dom Mar 24, 2013 20:34

Tenho essas questões que estou tentando resolver
já tentei usar integração por partes e por substituição.

Alguém pode me dá uma dica ?

A resposta dela já vem logo abaixo

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por **nakagumahissao** » Dom Mar 24, 2013 20:58

Tente fazer:

$x = \sin \theta$

Mais para a frente, use:

$\tan^{2} \theta = sec^{2} \theta - 1$

Creio que isto deve ajudar.

por **LuizAquino** » Dom Mar 24, 2013 21:16

Amorais escreveu:Tenho essas questões que estou tentando resolver
já tentei usar integração por partes e por substituição.

Alguém pode me dá uma dica ?

A resposta dela já vem logo abaixo

anexo.jpg (8.51 KiB) Exibido 16100 vezes

Usando as substituições u = x^2 + 1

e $du = 2x\,dx$ , temos que:

$\int \dfrac{x^3}{\sqrt[3]{x^2 + 1}}\, dx = \int \dfrac{x^2\cdot x}{\sqrt[3]{x^2 + 1}}\, dx$

$= \dfrac{1}{2}\int \dfrac{u - 1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

$= \dfrac{1}{2}\int \dfrac{u}{\sqrt[3]{u}}\, du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{\sqrt[3]{u}}\,du$

$= \dfrac{1}{2}\int u^{\frac{2}{3}}\, du - \dfrac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}}\,du$

Agora tente concluir o exercício a partir daí.

Observação 1

O gabarito apresentado contém um erro. Na verdade, o correto será:

$\int \dfrac{x^3}{\sqrt[3]{x^2 + 1}}\, dx = \dfrac{3}{2} \left[\dfrac{\left(x^2 + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{5} - \dfrac{\left(x^2 + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{2}\right] + C$

Observação 2

Por favor, antes de postar um tópico leia as Regras deste Fórum. Em especial, vide a regra 3.

Nós recomendamos também que você leia o tópico abaixo:

DICA: Escrevendo Fórmulas com LaTeX via BBCode
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