[INTEGRAL DEFINIDA] Duvidas na resolução

por **fabriel** » Sex Mar 22, 2013 13:09

Oi pessoal, tudo bem?
Então, estou com duvidas na resolução dessa integral:
$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cos t) \sqrt[]{1+4{sen}^{2}t}dt$
Ai fiz o seguinte:
Chamei u=sent

Então

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$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cos t) \sqrt[]{1+4{sen}^{2}t}dt$ $=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt[]{1+4{u}^{2}}du$
Ai resolvendo a integral, vamos chegar na seguinte expressão:
$\frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{u}^{2} \right)}^{3}}= \frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{sen}^{2}t \right)}^{3}}$ Avaliados nos pontos pi/2 e 0.
Ai teremos:
$\frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{sen}^{2}\left(\frac{\pi}{2} \right) \right)}^{3}} - \frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{sen}^{2}\left(0) \right)}^{3}}$
e que resulta em:
$\frac{20\sqrt[]{5}}{3}-\frac{4}{3}$

Mas o livro diz que o resultado é: $\frac{1}{2}\left(2\sqrt[]{5}+ln(2+\sqrt[]{5} \right)$

Então qual foi meu erro?? Foi na hora da substituição?

por **young_jedi** » Sáb Mar 23, 2013 16:42

a integral em u que voce fez não da aquele resultado,
ela é uma integral como raiz e um u ao quadrado dentro dela, ela é um pouco complicada de se resolver

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