[função inversa]

por **Ge_dutra** » Qui Mar 21, 2013 20:58

Seja f: $\Re\rightarrow\Re_{+}^{*}$ tal que f'(x)=f(x). Encontrar ( ${f}^{-1})$ (x)

Não consegui chegar a um raciocínio muito coerente, tentei várias vezes e não está batendo com o gabarito ( $\frac{1}{x}$ , x>0)

Podem ajudar?

por **e8group** » Sex Mar 22, 2013 09:33

Presumo que a hipótese seja $f^{-1} (x) = f(x)$ e ainda $f : \mathbb{R^*} \mapsto \mathbb{R^*_+}$ .

Solução :

Como $f(x) \neq 0 , \forall x \in D_f$ ,existe uma função

invertível, $g : \mathbb{R^*_+} \mapsto \mathbb{R^*}$ tal que $(f^{-1} \cdot g\circ f) (x) = 1$ ,sendo assim , $f^{-1}(x) = (g \circ (g\circ f)) (x)$ (Por quê ? ) . Mas , $(g \circ (g\circ f)) (x) = g(g(f(x))) = g(g(y))=g(x)$ , daí $f^{-1} (x) = g(x)$ ,observe que g(x) = 1/x

pois $f^{-1} \cdot (f(x))^{ -1} = \frac{f^{-1}(x)}{ f(x)} = (f^{-1} \cdot g\circ f) (x)= 1 \iff g(x) = 1/x$ .

por **Ge_dutra** » Sex Mar 22, 2013 10:43

Confesso que não entendi a sua resolução. A menos que o exercício esteja errado, o domínio de f não exclui o zero, e nada fala sobre ${f}^{-1}$ (x) ser igual a f(x), e sim que a derivada de f(x) é igual a f(x).

por **e8group** » Sex Mar 22, 2013 11:52

Desculpe o equivoco ,sendo f'(x) = f(x)

observe que $y = f(x) = f(f^{-1}(y))$ ,derivando ambos membros com respeito a

,

$1 = \frac{d}{d(f^{-1}(y)} f(f^{-1}(y)) \cdot \frac{d}{dy}f^{-1}(y)$ .

Observações :

a) $f^{-1} (y) = x$

b) x = f(y)

Por a ) e b) obtemos : $1 = 1 = \frac{d}{dx} f(x)\cdot \frac{d}{dy} f(y)$ que devido a hipótese f'(x) = f(x)

resulta $1 = f(x) \cdot f(y)$ ,ou seja , $f(y) = \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{y}$ ,logo , $f^{-1}(y) = 1/y$ .

Não sei se está certo ,se sim ,há uma contradição ,pois se $f^{-1} (x) = 1/x \implies f(x) = 1/x$ e $f'(x) = (x^{-1}) ' = -x^{-2} = - \frac{1}{x^2} \neq f(x)$ .

por **Ge_dutra** » Sex Mar 22, 2013 12:11

Achei essa questão um pouco confusa. Vou tentar conseguir a resolução dela hoje e postarei aqui.
De qualquer forma obrigada pela atenção e ajuda.

por **Ge_dutra** » Sex Mar 22, 2013 23:18

Santhiago, a resolução é mais simples do que aparenta

Sendo $({f}^{-1})'(x)=\frac{1}{f'({f}^{-1}(x))}$

E f'(x) = f(x), temos que $\frac{1}{f'({f}^{-1}(x))} = \frac{1}{f({f}^{-1}(x))}$

Como $f({f}^{-1}(x))=x$ , $({f}^{-1})'(x)=\frac{1}{x}$ , x>0