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por **Ge_dutra** » Qui Mar 21, 2013 22:51

Mostre que arcsen(a) + arcsen(b) = arcsen(a $\sqrt[]{1-b^2} + b\sqrt[]{1-a^2}$ )

Não tenho ideia de como iniciar..

Alguém para ajudar?

por **e8group** » Sex Mar 22, 2013 00:19

Definimos

e

,então

e

se , e somente se , sin(c) = a

e

.

Vamos começar desenvolvendo sin(c+d) = sin( arcsin(b) + arcsin(a))

que é equivalente a sin(c)cos(d) + sin(d)cos(c)

.

Pela identidade trigonométrica fundamental $sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1$ , concluímos

que se $c,d \in [0,\pi/2]$ ,ou seja , se $a,b \in [0,1]$ vale as relações $cos(c) = \sqrt{1-sin^2(c)}$ e $cos(d) = \sqrt{1-sin^2(d)}$ . Assim ,

$sin(c+d) = sin(c) \sqrt{1-sin^2(d)} + sin(d) \sqrt{1-sin^2(c)} = a \sqrt{1-b^2} + b \sqrt{1-a^2}$ e portanto $c+d = \arcsin(a \sqrt{1-b^2} + b \sqrt{1-a^2})$ , isto é , $arcsin(a) + arcsin(b) = arcsin(a \sqrt{1-b^2} + b \sqrt{1-a^2})$

por **Ge_dutra** » Sex Mar 22, 2013 08:56

Obrigada!

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