[Limite] Cálculo de limite

por **Luciana Bittencourt** » Qui Mar 21, 2013 13:10

Calcular o limite

$lim_{x\rightarrow p}\frac{x^n-p^n}{x-p}$

Comecei a resolver assim:
$\\\lim_{x \to p} \frac{x^n-p^n}{x-p}=\lim_{x \to p}\frac{(x-p)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)}{x-p}\\\\\lim_{x \to p}(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1) = \boxed{p^{n-1}+p^{n-2}+\cdots +p+1}$

Mas como faço esse resultado final ficar $np^{n-1}$ ?

por **Russman** » Qui Mar 21, 2013 14:29

Você já sabe usar a Regra do l'Hôpital?

por **Luciana Bittencourt** » Qui Mar 21, 2013 14:37

Não... Que regra é essa?

por **Russman** » Qui Mar 21, 2013 14:46

Assista esse vídeo.

http://www.youtube.com/watch?v=-TNbOIad3Oc

Essa regra é muito útil para resolver limites que apresentam indeterminações como essa.

por **e8group** » Qui Mar 21, 2013 19:58

Na verdade $\frac{x^n - p^n}{x-p} = \sum_{t=0}^{n-1} p^t \cdot x^{n-(1+t)} , x\neq p$ .

Assim , $\lim_{x\to p} \frac{x^n - p^n}{x-p} = \lim_{x\to p}\sum_{t=0}^{n-1} p^t \cdot x^{n-(1+t)} = \sum_{t=0}^{n-1} \lim_{x\to p} p^t \cdot x^{n-(1+t)} = \underbrace{p^{n-1} + p^{n-1} + \hdots + p^{n-1}}_{\text{n-vezes}}$ .

Logo , $\lim_{x\to p} \frac{x^n - p^n}{x-p} = n\cdot x^{p-1}$ .

Outra forma seria ...

Deixando x -p = h

,quando $x\to p \implies h \to 0$ . Assim ,

$\lim_{x\to p} \frac{x^n - p^n}{x-p} = \lim_{h\to 0} \frac{(p+h)^n -p^n}{h}$ .

Pelo Binómio de Newton , $(p+h)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^{n-k} \cdot h^k$ ;logo

$\frac{(p+h)^n -p^n}{h} = \frac{\sum_{k=1}^n \binom{n}{k} p^{n-k} \cdot h^k }{h} = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} p^{n-k} \cdot h^{k-1}$ .

Todas parcelas que contém