Se alguém tiver uma resolução diferente, poste aqui.

por **Douglas16** » Dom Mar 17, 2013 19:12

Para $\lim_{x\rightarrow1} \frac{1+cos\left(\pi x \right)}{{(x-1)}^{2}}$
Minha resolução foi:
$\lim_{x\rightarrow1} \frac{1+cos\left(\pi x \right)}{{(x-1)}^{2}}$
= $\lim_{x\rightarrow1}$ $\frac{\left(1-cos\left(\pi x \right) \right)\left(1+cos\left(\pi x \right) \right)}{{(x-1)}^{2}\left( 1-cos\left(\pi x \right)\right)}$
= $\lim_{x\rightarrow1}$ ${\left[\frac{sen\left(\pi x \right)}{x-1} \right]}^{2}\left(\frac{1}{1-cos\left(\pi x \right)} \right)$
= $\lim_{x\rightarrow1}$ ${\left[\frac{-\pi sen\left(\pi x-\pi \right)}{\left(\pi x-\pi \right)} \right]}^{2}\left(\frac{1}{1-cos\left(\pi x \right)} \right)$
= $\frac{{\pi}^{2}}{2}$
Se alguém têm alguma resolução diferente, poste, ajude a enriquecer minha experiência. Obrigado.

por **e8group** » Seg Mar 18, 2013 00:54

Boa resolução , segue outra ...

Considere $f(x) = f(x) = \frac{1 + cos(\pi x)}{(x-1)^2} , x\neq 1$ .

Fazendo $\pi(x-1) = k , \left( \begin{matrix} \text{quando}\ x \to 1 , \\ k \to 0\end{matrix} \right )$ .

Assim ,

$\lim_{x\to1} f(x) = \lim_{k\to0} \frac{1 - cos(k)}{\dfrac{k^2}{\pi^2}} = \pi^2 \lim_{k\to0}\frac{1 - cos(k)}{k^2}$

De ,

cos(k) = cos^2(k/2) - sin^2(k/2)

(Por que ?) , obtemos

$1 - cos(k) = 1 - [cos^2(k/2) - sin^2(k/2)] = ( 1 - cos^2(k/2) ) + sin^2(k/2) = 2 \cdot sin^2(k/2)$ .

Logo ,

$\pi^2 \lim_{k\to0}\frac{1 - cos(k)}{k^2} = \pi^2 \lim_{k\to0}\frac{2 \cdot sin^2(k/2)}{k^2} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \lim_{k\to0} \left(\frac{sin\left(\dfrac{k}{2}\right)}{\dfrac{k}{2}} \right)^2$ .Pelo limite fundamental, trigonométrico , resulta $\frac{\pi^2}{2} \cdot \lim_{k\to0} \left(\frac{sin\left(\dfrac{k}{2}\right)}{\dfrac{k}{2}} \right)^2 = \frac{\pi^2}{2}$ , ou seja , $\lim_{x\to1} f(x) = \frac{\pi^2}{2}$ .