Prova da irracionalidade do número de Euler

por **Douglas16** » Dom Mar 10, 2013 17:38

Neste link está a prova: http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_de_irracionalidade_do_n%C3%BAmero_de_Euler
Mas não sei como na penúltima equação a expressão: fatorial de b, sobre, o fatorial de n, é igual a:
$\frac{1}{(b+1)(b+2)\bullet \bullet \bullet(b+(n-b)) }$
E também como provar a afirmação: "E o resultado segue, pois como é fácil ver 2<e<3"; não encontro a prova!!!???
O resto entendi, ok?

por **e8group** » Dom Mar 10, 2013 18:50

Boa tarde .Observe que por hipótese n > b

e ambos são naturais .Certo ?

Desta forma, existe algum

natural tal que n = b+k > b

(Não é verdade ? )

Assim , $n! = (b+k)! = (b+k)\cdot (b+k -1)\cdot (b+k-2)\cdot (b+k-3) \cdots (b +k -(k-1) ) \cdot b!$ .

Substituindo-se k = n -b

, segue que

$n! = (b+[n -b])\cdot (b+[n -b] -1)\cdot (b+[n -b]-2)\cdot (b+[n -b]-3) \cdots (b +1) ) \cdot b!$ que simplificando ficamos apenas com ,

$n ! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3) \cdots (b+1)b!$ .

Logo , $\frac{b!}{n!} = \frac{1}{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3) \cdots (b+1)} = \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)\cdots n}$ .

Qualquer dúvida só postar .

por **e8group** » Dom Mar 10, 2013 20:20

Boa noite ,eu fiz este exercício há algum tempo atrás , vou disponibilizar com a intenção de ajudar .

Seja $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} , e \notin \mathbb{Q}$ (é irracional)

Demostração :

(1) Vamos supor por absurdo que existem $p,q \in \mathbb{N} \mid e = p/q$

Multiplicando-se

por

,temos

$e \cdot q! = (q-1)!p = q! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ .

Mas , $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \sum_{n=0}^{q} \frac{1}{n!} + \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ ,então :

(*) $e \cdot q! = (q-1)!p = \sum_{n=0}^{q} \frac{q!}{n!} + \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!}$ .

(2)

Vale destacar que os membros à esquerda da igualdade acima são naturais , logo , $\sum_{n=0}^{q} \frac{q!}{n!}$ e $\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!}$ também são naturais .

Além disso , a igualdade (* )pode ser escrita como ,

$(q-1)!p - \sum_{n=0}^{q} \frac{q!}{n!} = \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!}$

(3) Se mostrarmos que $\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!}$ não é natural ,está concluída a prova .

De fato este número não o é . Pois ,

$\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!} = q! \left( \frac{1}{(q+1)!} + \frac{1}{(q+2)!} + \frac{1}{(q+3)! }+ \hdots \right) =$

= $q! \left( \frac{1}{(q+1)(q)!} + \frac{1}{(q+1)(q+2)q!} + \frac{1}{(q+3)(q+2)(q+1)q! }+ \hdots\right)$

Ou seja ,

$0< \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!} = \frac{1}{(q+1)} + \frac{1}{(q+1)(q+2)} + \frac{1}{(q+3)(q+2)(q+1) }+ \hdots < 1$

(4)

Conclusão (2) + (3) contradiz (1) .

$\blacksquare$ .

Qualquer dúvida estou a disposição ,ficaria muito grato se alguém corrigisse a demostração acima caso notarem algum erro .