[derivadas] Ajuda definição

por **MarlonMO250** » Qui Mar 07, 2013 16:31

Olá, como varias das minhas duvidas ultimamente foram resolvidas por aqui venho denovo pedir ajuda

como logo vou ter uma prova de derivadas decidi começar a estudar logo pra não ir tão mal rs, e me deparei com a seguinte questão:

Mostre, utilizando a definição de derivadas, que: se $y=cos\:x$ então $\frac{dy}{dx} = -sen\:x$ .

no caso como eu devo resolver? simplesmente colocando que:

$\frac{dy}{dx} = -sen\:x.1x^\left( 1-1 \right)$ ?

por **Russman** » Qui Mar 07, 2013 20:12

Você tem de aplicar a definição de derivada.

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cos \left ( x \right ) = \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos(x+\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}$

Agora, lembre-se que

$\cos (a+b) = \cos (a)\cos (b) - \sin (a)\sin (b)$

e, portanto

$\cos (x+\Delta x) = \cos (x)\cos (\Delta x) - \sin (x)\sin (\Delta x)$

de forma que

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cos \left ( x \right ) = \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos (x)\cos (\Delta x) - \sin (x)\sin (\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x} =$
$=\cos (x)\left (\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos (\Delta x) - 1}{\Delta x} \right )-\sin (x)\left (\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin (\Delta x) }{\Delta x} \right )$

Tudo bem até aqui?

por **MarlonMO250** » Qui Mar 07, 2013 20:43

até aqui: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cos \left ( x \right ) = \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos (x)\cos (\Delta x) - \sin (x)\sin (\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}$ tudo bem.

porem, isso: $\cos (x)\left (\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos (\Delta x) - 1}{\Delta x} \right )-\sin (x)\left (\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin (\Delta x) }{\Delta x} \right )$ eu não entendi

por **Russman** » Qui Mar 07, 2013 21:15

Note que em

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cos \left ( x \right ) = \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos (x)\cos (\Delta x) - \sin (x)\sin (\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}$

podemos fatorar os termos que apresentam $\cos \left ( x \right )$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cos \left ( x \right ) = \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos (x)(\cos (\Delta x)-1) - \sin (x)\sin (\Delta x)}{\Delta x}$

e como o limite opera apenas em $\Delta x$ , isto é, todas as funções de

não são afetadas pelo limite e o limite de uma soma é a soma dos limites, podemos fatorá-las.

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cos \left ( x \right ) = \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos (x)(\cos (\Delta x)-1) }{\Delta x} - \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin (x)\sin (\Delta x)}{\Delta x}$
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\cos \left ( x \right ) =\cos (x) \underset{\Delta x\rightarrow 0 }{\lim }\frac{\cos (\Delta x)-1}{\Delta x} - \sin (x)\underset{\Delta x\rightarrow 0 }{\lim }\frac{\sin (\Delta x)}{\Delta x}$

Entende agora?

por **MarlonMO250** » Sex Mar 08, 2013 11:03

hmmm, saquei :-D

agora outra coisa que fiquei em duvida: "Determine o local (abscissa do ponto) em que a reta tangente à curva y=x², no ponto de abscissa x=5 intercepta o eixo das abscissas (eixo x)."

se puder me ajudar eu agradeço muito

por **Russman** » Sex Mar 08, 2013 14:13

Você precisa calcular a inclinação da reta tangente no ponto desejado. Como você deve saber, esta é a derivada da função no ponto. Você já calculou a derivada da função?