[Frações Parciais] Área

por **klueger** » Sáb Mar 02, 2013 18:52

Seja a função: $f(x) = \frac{1}{x^2-2x-3}$
Usando o método das Frações Parciais, calcule sua área, sendo, para isto, a sua integral: $\int\limits_{0}^{2}f(x)dx$

Estou sem noção de Frações, já consultei tabela e não achei...

por **Russman** » Dom Mar 03, 2013 19:41

Primeiramente, você precisa decompor o polinômio do denominador em fatores. Como ele é de segundo grau sabemos que é possível escrever

x^2-2x-3 = (x-a)(x-b)

onde

e

são as raízes desse polinômio. Claramente podemos tomar a = 3

e

. Assim,

$\frac{1}{x^2-2x-3} = \frac{1}{(x-3)(x+1)}$ .

Agora suponha a existência de dois valores reais

e

tais que

$\frac{1}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{(x-3)}+\frac{B}{(x+1)}$ .

Desenvolvendo,

$\frac{A}{(x-3)}+\frac{B}{(x+1)} = \frac{A(x+1)+B(x-3)}{(x-3)(x+1)}$

e por igualdade de polinômios, temos

$A(x+1)+B(x-3) = 1\Rightarrow (A+B)x +A-3B = 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A+B = 0\\ A-3B=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=\frac{1}{4}\\ B=- \frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

Assim,

$f(x)=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{(x-3)}-\frac{1}{(x+1)} \right )$ .

Agora é só integrar lembrando que $\int \frac{dx}{x+a} = \ln (x+a) + c$ .

por **LuizAquino** » Ter Mar 05, 2013 10:19

klueger escreveu:Seja a função: $f(x) = \frac{1}{x^2-2x-3}$
Usando o método das Frações Parciais, calcule sua área, sendo, para isto, a sua integral: $\int\limits_{0}^{2}f(x)dx$

Estou sem noção de Frações, já consultei tabela e não achei...

Para revisar a técnica de Frações Parciais, eu gostaria de sugerir que você assista as videoaulas "29. Cálculo I - Integração por Frações Parciais (Caso I e II)" e "30. Cálculo I - Integração por Frações Parciais (Caso III e IV)". Essas videoaulas estão disponíveis no meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Eu espero que essas videoaulas possam ajudar você no entendimento desta técnica.

Russman escreveu:Agora é só integrar lembrando que $\int \frac{dx}{x+a} = \ln (x+a) + c$ .

Apenas uma observação: o que temos na verdade seria $\int \frac{1}{x+a}\, dx = \ln |x+a| + c$ .

Em outras palavras, devemos ter o módulo em x + a.

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