[variação de funções] raiz real

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[variação de funções] raiz real

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[variação de funções] raiz real

Mensagempor Erickvilela » Sex Fev 22, 2013 21:58

entao, estou tentando fazer uma questão do livro de guidorizzi de calculo I, entretanto não estou conseguindo
gostaria de pedir ajuda.

a questão é : Prove que a equação x^3 _ 3x^2 + 6 = 0 admite uma unica raíz real. Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.

como faço ?
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Re: [variação de funções] raiz real

Mensagempor e8group » Sex Fev 22, 2013 23:15

Boa noite ,já tentou analisar os intervalos de crescimento e de decrescimento de f através de f' ?
Após isto conclua então que pelo TVI existe um c em [-2,-1] tal que f(c) = 0 \in [f(2),f(-1)]\subset D_f =\mathbb{R} (OBS.: f é contínua )
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Re: [variação de funções] raiz real

Mensagempor Erickvilela » Sex Fev 22, 2013 23:25

mas tipo, quando eu calculo f ' , vou ter:
3x^2 - 6x = 0, então x=2 e x=0, logo, os intervalos de crescimento e decrescimento vão ser:

cresce em ]-? , 0] e [2, +?[ ; e decresce em [0,2], mas como encontro o intervalo das raízes ?
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Re: [variação de funções] raiz real

Mensagempor e8group » Sáb Fev 23, 2013 13:35

Considerando f(x) = x^3 -3x^2+ 6

Temos f é estritamente crescente em I_1 = ]-\infty ,0] e I_2 =[2,+\infty[ e decrescente I_ 3 = [0,2] .

Vamos verificar em cada intervalo I_1, I_2, I_3 se há pelo menos um c em algum deles tal que f(c) = 0 .

(1)

Como x^3 , o termo dominante, possui grau impar , \lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty

e

como f(0) = 6 > 0

Assim ,existem a,b tais que f(a) < 0 e f(b) > 0 .Como f é contínua (Porque ? ) ,pelo TVI existe c \in [a,b] \subset I_1 tal que f(c) = 0 \in [f(a),f(b)] .


(2)

Como f(2) = 2 > 0 e \lim_{x\to+\infty} f(x) = + \infty (Porque ?),concluímos que pelo TVI não existe c em I_2 tal que f(c) = 0 .

(3)

Segue de imediato de (1) e (2) que f(0) e f(2) são ambos postivos ,sendo assim, 0\notin [f(2),f(0)] , ou seja , não existe c em [0, 2] tal que f(c) = 0 .


Conclusão : f admite uma única raiz real ,pois, como já mencionado acima f é estritamente crescente em I_1 .

\blacksquare

Para determinarmos o intervalo de amplitude 1 que contenha c ,

veja que f(-2) < 0 e f(-1) > 0 ;assim \exists c \in [-2,-1] : f(c) = 0 .

Espero que ajude .

Editado erro de digitação .
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3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



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Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

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O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
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